Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

КФУ - задания по годам → .06 КФУ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Разделы подтемы КФУ - задания по годам

КФУ до 2020

КФУ 2020

КФУ 2021

КФУ 2022

КФУ 2023

КФУ 2024

КФУ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83854

Найти трехзначное число, которое в 9-ричной системе счисления записывается теми же цифрами, но в обратном порядке.

Источники: КФУ - 2024, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем искомое число в виде 100а+10b+c. Как нам схожим образом записать это число в девятеричной системе?

Подсказка 2

Верно, 81c+9b+a. Приравняем эти выражения и получим уравнение на три неизвестных. Найти и выразить их из него мы не сможем, но можем выявить некоторые характеристики этих чисел. Например, о равенстве каких-то двух переменных. Как бы нам переписать это уравнение так, чтобы какая-нибудь разница равнялась нулю?

Подсказка 3

Конечно, записав 100а-80b =a-b, получим, что разница a и b кратна 10, но так как обе переменные однозначны, то и их разность равна только нулю. Тогда а=b. Подставив в известное нам равенство и пользуясь однозначностью чисел, можем так же точно определить значения наших переменных

Показать ответ и решение

Пусть искомое число записано цифрами $a,b,c,$ то есть

--- n= abc= 100a+10b+ c

Запишем условие задачи:

100a +10b+ c=81c+ 9b +a

99a+ b− 80c= 0

Перепишем это равенство в виде:

100a− 80c= a− b

Левая часть делится на 10, значит $a− b$ также делится на 10. В силу того, что $a$ и $b$ — однозначные числа, эта разность может быть равна только 0, т.е. $b= a.$ Подставив в полученное ранее равенство, получим

100a= 80c, 5a= 4c

Итак, возможен только один вариант: $c=5,$ $a =b= 4.$

Ответ: 445

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83855

Точки $A,B,C$ лежат в вершинах клеток клетчатой бумаги. Может ли угол $ABC$ оказаться равным $30∘?$

Источники: КФУ - 2024, 11.2 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Угол может располагаться вообще как угодно, неприятно. Давайте использовать линии сетки. Проведём из точки В луч горизонтальный и опустим на него перпендикуляры АЕ и СF, получим углы α = АВЕ и β = CBF (возможно, какой-то из них нулевой! если Е или F на одной линии с В). Что мы можем найти для этих углов?

Подсказка 2

Можем найти тангенс α и β. Теперь давайте вычислим тангенс АВС с помощью формулы тангенса суммы. Поразмышляйте над полученным выражением: что же нам даёт расположение точек в узлах сетки... давайте, не ленитесь, не хочу лишать Вас удовольствия

Подсказка 3

Оп-па, а это выражение (тангенс суммы) рационален! А тангенс 30 градусов нет. Развалили задачу

Показать ответ и решение

Проведем из точки $B$ луч по линии сетки:

$PIC$

Тогда угол $ABC$ будет равен сумме углов $α$ и $β$ (они могут быть и отрицательными). Тангенс такого угла равен отношению двух целых чисел, то есть является рациональным числом. Тогда

tg(α+ β)= tg(α)+-tg(β)- 1− tg(α)tg(β)

также рациональное число. Но $tg(30∘)= √1- 3$ — число иррациональное.

Если один из углов $α$ и $β$ является прямым, то можно использовать луч, идущий перпендикулярно первому.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83856

Выписаны 100 положительных чисел, сумма которых равна $S,$ а сумма квадратов больше, чем $P.$ Доказать, что среди этих чисел есть число, большее, чем $P∕S.$

Источники: КФУ - 2024, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть х₁ - наибольшее из чисел. Тогда очевидно х₁>P/S. С таким выражением работать куда проще, чем с абстрактным условием на неизвестное число. Перезапишем его в виде Sx₁>P. Как бы нам доказать это неравенство?...

Подсказка 2

Давайте домножим выражение для суммы всех чисел на х₁. Попарного сравним каждое слагаемое со слагаемыми из суммы квадратов. Что получается?

Подсказка 3

Верно, Sx₁ оказывается не меньше суммы квадратов! А теперь можно заменить всё на введённые в условии обозначения и доказать неравенство.

Показать доказательство

Расположим наши числа по убыванию, $x ≥ x ≥ x ≥...≥x . 1 2 3 100$ Имеем

S = x1+ x2+x3 +...+ x100

x2+x2 +x2+ ...+ x2 > P 1 2 3 100

Умножим первое равенство на $x1,$ получим, что

Sx1 = x2+x1x2+ x1x3+ ...+ x1x100 ≥ x2+ x2 +x2+ ...+ x2 > P 1 1 2 3 100

Следовательно, $x1 > P. S$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83857

Коническое (пожарное) ведро было заполнено водой до самого края.

$PIC$

В него положили шар, причем он полностью покрылся водой. Покажите, что при этом из ведра вылилось не более половины бывшей там воды.

Источники: КФУ - 2024, 11.4 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?

Подсказка 2

Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?

Подсказка 3

Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.

Показать доказательство

Обозначим радиус шара через $r,$ радиус основания конуса через $R,$ а высоту конуса — через $h.$ Тогда объём конуса равен

1 2 V = 3πR ⋅h

Объём шара

4 v = 3πr3

Отношение этих объемов равно

3 v-= 4r2- V R h

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

$PIC$

Из подобия прямоугольных треугольников $AF O$ и $AMB$ имеем

h− r √h2-+R2 -r--= ---R----

Возведем равенство в квадрат, получим

( )2 2 2 2 h − 1 = h-+R2--= 1+ h2- r R R

1− 2h + h2 =1 + h2 r r2 R2

h2−-2rh- h2- r2 = R2

h2r2 R2 =h2-− 2rh

Значит, отношение объёмов равно

( ) v-= 4r3-h2−-2rh-= 4r(h−-2r)= 4(t− 2t2)= 4t(1− 2t), V h2r2h h2

где $t= r < 1. h 2$ Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при $t= 1 4$ и составляет

4t(1− 2t) =4⋅ 1 (1− 1) = 1 4 2 2

Заметим, что максимум достигается при $h = 4r;$ при этом

16r4 R2 = 16r2−-8r2-=2r2

l2 = h2+ R2 = 18r2 =9R2

l= 3R

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83858

a) Существует ли функция $f(x),$ заданная на всей числовой оси такая, что

( 1) 2 f x− x =x ?

б) Существует ли такая функция, заданная для $x> 0?$

Источники: КФУ - 2024, 11.5 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Функция может принимать при разных абсциссах одни и те же значения, но бывает ли наоборот? Может ли функция при одной абсциссе иметь два значения?

Пункт а, подсказка 2

Такое сложное выражение внутри функции для абсцисс, может ли оно быть равно одному значению при подстановке разных x?

Пункт а, подсказка 3

Заметим, что в выражении «x - 1/x» есть переменная и обратная к ней, а что если в место переменной подставить сразу обратную, то есть (1/x) - 1/(1/x) = 1/x - x. Получилось, что-то очень похоже на изначальное выражение, может только поменять знак?

Пункт а, подсказка 4

Используя предыдущий факт, внимательно посмотрите на два равенства, получаемых при подстановке в функцию, например, x = 2 и x = -½. Придите к противоречию.

Пункт б, подсказка

Обратите внимание, что положительный x должен быть для f(x), а не для условия на f(x - 1/x).

Показать ответ и решение

а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой $x =2$ и $x =− 1∕2$ в условие задачи

3 ( 1) 2 f(2)= 2 −2 = 2

( ) ( )2 f(3)= − 1− (−2) = − 1 = 2−2 2 2 2

получаем противоречие

б) Если существует, то снова возникает противоречие при $x =1,5> 0$ с неоднозначностью $f(1,5).$ Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный $x$ должен быть для $f(x)$ , а не для условия на $( 1) f x− x .$

Ответ:

а) нет

б) нет

Предыдущая подтема

Следующая подтема