КФУ - задания по годам → .06 КФУ 2024

Пусть искомое число записано цифрами то есть

Запишем условие задачи:

Перепишем это равенство в виде:

Левая часть делится на 10, значит также делится на 10. В силу того, что и — однозначные числа, эта разность может быть равна только 0, т.е. Подставив в полученное ранее равенство, получим

Итак, возможен только один вариант:

Проведем из точки луч по линии сетки:

Тогда угол будет равен сумме углов и (они могут быть и отрицательными). Тангенс такого угла равен отношению двух целых чисел, то есть является рациональным числом. Тогда

также рациональное число. Но — число иррациональное.

Если один из углов и является прямым, то можно использовать луч, идущий перпендикулярно первому.

Расположим наши числа по убыванию, Имеем

Умножим первое равенство на получим, что

Следовательно,

Обозначим радиус шара через радиус основания конуса через а высоту конуса — через Тогда объём конуса равен

Объём шара

Отношение этих объемов равно

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

Из подобия прямоугольных треугольников и имеем

Возведем равенство в квадрат, получим

Значит, отношение объёмов равно

где Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при и составляет

Заметим, что максимум достигается при при этом

а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой и в условие задачи

получаем противоречие

б) Если существует, то снова возникает противоречие при с неоднозначностью Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный должен быть для , а не для условия на