Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .06 ШВБ 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65465

Для всех неотрицательных значений вещественной переменной $x$ функции $f(x)$ выполняется условие

-----43---- f(x+ 1)+1= f(x)+(x+ 1)(x+ 2)

Вычислите $101 f(2020)$ , если $f(0)= 2020$ .

Источники: ШВБ-2020, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В равенстве из условия можно выразить f(x+1) через f(x). Кажется, это намекает на какую-то рекурсию, попробуем выразить f(x) через f(x-1) и т.д. Заметна ли какая-то закономерность?

Подсказка 2

Да, на самом деле для натурального n можно выразить f(n) через f(0) = 2020, получится равенство f(n) = 2020 - n + 43(1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(n×(n+1))). Подумайте, как можно свернуть сумму дробей в скобках.

Подсказка 3

Попробуйте каждую дробь из суммы расписать как разность двух дробей так, чтобы при суммировании почти все члены сокращались.

Подсказка 4

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1), тогда все члены сокращаются, кроме первого и последнего, получаем f(n) = 2020 - n + 43(1 - 1/(n+1)). Что можно применить, чтобы доказать эту формулу для любого натурального n?

Подсказка 5

Конечно же, индукцию! База легко проверяется, переход также несложно доказывается. Остаётся посчитать f(2020) :)

Показать ответ и решение

Докажем по индукции, что

-1-- f(n)= 2020− n +43(1− n+ 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База очевидна:

f(0)= 2020− 0 +43(1 − 1)= 2020

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход несложно доказать:

43 ( 1 ) 43 f(n+ 1)=− 1+f(n)+ (n-+1)(n-+2)-=2020− n +43 1− n+1- − 1+ (n-+1)(n-+2) =

( ) ( ) 2020− (n+ 1)+ 43 1+ -----1-----− --n-+2---- = 2020− (n +1)+ 43 1− ---1---- (n+ 1)(n+ 2) (n +1)(n +2 (n+ 1)+ 1

_____________________________________________________________________________________

Таким образом, по доказанной формуле

f(2020)= 2020− 2020+ 43(1−--1---)= 2020= 101⋅20- 2020+ 1 47 47

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Вот как прийти к решению:

f(n)=f(n− 1)− 1+---43---= f(n − 2)− 2+43(--1---+---1---)= n(n+ 1) n(n+ 1) n(n− 1)

1 1 1 = f(n− 3)− 3+ 43(n(n+-1) + (n-− 1)n + (n−-2)(n−-1))=

= f(0)− n+ 43(--1---+ ---1---+...+ -1-)= n(n+ 1) (n− 1)n 1⋅2

1 --1- --1- 1 1 1 =f(0)− n +43(n − n+ 1 + n − 1 − n + ...+ 1 − 2)=

1 =2020− n+43(1− n+-1)

Ответ:

$47 20$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77995

Найдите наименьшее значение выражения

3f(1)+-6f(0)−-f(−-1) f(0)− f(−2) ,

если $f(x)= ax2+ bx+ c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b> 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте не побоимся и подставим вместо f(1), f(0) и т.д. их настоящие значения через a, b, c и вспомним, когда квадратных трёхчлен принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

Верно, при a > 0, D <= 0, это даёт нам оценку на c и a, как бы нам это использовать?

Подсказка 3

Можно заметить, что там, где есть множитель b, модуль степени a на 1 меньше, может быть получится сделать какую-нить замену?

Подсказка 4

Да, можно вынести a (a > 0) и сделать замену t = a/b, а у выражения относительно t мы легко можем найти точки минимума. Остаётся только ...

Подсказка 5

Проверить, что этот минимум достигается

Показать ответ и решение

Имеем

(| f(1)= a+ b+ c, |||{ f(0)= c, | |||( f(−1)=a − b+ c, f(−2)=4a− 2b+ c

Тогда исходное уравнение принимает вид

3f(1)+6f(0)−-f(−1) 3(a-+b+-c)+6c−-a+b-− c 2a+-4b+-8c a+-2b+-4c f(0)− f(− 2) = c− 4a+ 2b− c = 2b− 4a = b − 2a

Поскольку $f(x)=ax2+ bx+c$ — произвольная квадратичная функция, принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x,$ то

b2 a >0,D =b2− 4ac≤0 ⇒ c≥ 4a

Тогда

2 a+-2b+-4c a+2b+-ba2- a(1+-2ab+-ba2) t2+-2t+1- (t+-1)2- b− 2a ≥ b− 2a = a(ba − 2) = t− 2 = t− 2 ,

где $t= ba,t> 2.$

Рассмотрим функцию $g(t)= (tt+−1)22-$ и найдем ее наименьшее значение при $t>2.$

′ 2(t+ 1)(t− 2)− (t+1)2 (t+1)(2(t− 2)− (t+ 1)) (t+ 1)(t− 5) g(t) = ------(t− 2)2-----= ------(t−-2)2------ = --(t−-2)2--,

при $t= 5$ производная $g′(t)$ равна $0$ и, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, $tmin = 5,gmin = g(5)= 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#102367

Решите систему уравнений

{ y2+ xy = 15; x2+ xy = 10.

Источники: ШВБ - 2020, 8 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, в обоих уравнениях слева есть общий множитель. Что можно с этим сделать?

Подсказка 2

Да, можно выразить/поделить одно уравнение на второе и аналогичные действия. Тогда получим соотношение между x и y, а значит, подставив его в одно из уравнений, получим квадратное и решим его, не забудем посчитать и вторую переменную!

Показать ответ и решение

{ y(y+ x) =15 x(x+ y) =10

Разделим первое уравнение системы на второе:

y 3 x = 2

3 y = 2x

Подставим в уравнение:

3 x2+ 2x⋅x= 10

[ x =− 2 x= 2

⌊ { | y = −3 ||| { x= −2 ⌈ y = 3 x = 2

Ответ:

$(−2;−3),(2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104429

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC (AB =BC )$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N,$ соответственно. $MK,$ хорда этой окружности, равная по длине $√- 2 5,$ содержит точку $H,$ лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC.$ Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC,$ пересекает прямую $MN$ в точке $L.$ Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL,$ если $2 cos∠ABK = 3.$

Источники: ШВБ - 2020, 9 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о четырёхугольнике AMNC?

Подсказка 2

AMNC — равнобокая трапеция! Было бы полезно найти окружность, на которой лежать точки K, M, L. Например, найти вписанный четырёхугольник, вершинами которого являются эти точки. Какие есть подозрения на четвёртую вершину?

Подсказка 3

Давайте попробуем доказать, что BMKL — вписанный! Равенство каких углов нам для этого нужно?

Подсказка 4

Попробуем доказать, что углы MBK и MLK равны! Очень часто помогает идея разбить нужные углы на части, а затем доказать попарное равенство частей.

Подсказка 5

Что можно сказать о треугольниках CBH и NLC?

Подсказка 6

Треугольники CBH и NLC подобны! Тогда можно будет выписать соответствующие отношения сторон и попробовать найти другие подобные треугольники!

Подсказка 7

Рассмотрите треугольники KCL и BHK. Можно можно сказать про отношение их сторон? А о тупых углах в них?

Показать ответ и решение

$PIC$

Четырехугольник $AMNC$ — равнобедренная трапеция. Треугольники $AMH$ и $HNC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда:

∠AHM = ∠HMN = ∠MNH =∠NHC = ∠CHK =180∘− ∠NCK ∠MAC = ∠ACN =∠NCA ∘ ∘ ∘ ∠KHB =∠KHC + 90 = 180 − ∠NCK + 90 =∠KCL ∠AMK = ∠ACK =∠HNC

(как углы равных треугольников и как углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, треугольник $HNC$ подобен треугольнику $HCK$ и треугольник $BHC$ подобен треугольнику $NLC$ по двум углам. Значит,

KC NC LC KH-= CH- = HB-

и учитывая, что $∠KHB = ∠KCL$ , получаем подобие треугольника $KCL$ и треугольника $BHK,$ следовательно,

∠CLK = ∠HBK ⇒ ∠MBK = ∠MLK

а значит, точки $K,M,B,L$ лежат на одной окружности и

√- R = --MK-----= 2√5= 3 2sin∠ABK 235

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105229

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: 36-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). 42-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), 48-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, 51-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, 54-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Источники: ШВБ - 2020, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче описано много величин, поэтому записывать все уравнения и решать их не хочется. Скорость движения лифтов постоянна, поэтому графиком координаты от времени будет являться прямая.

Подсказка 2

Без ограничения общности можно считать, что красный лифт едет наверх. Тогда направления остальных лифтов определяются однозначно. Теперь нужно использовать геометрические соображения.

Подсказка 3

Времена из условия имеют чёткую связь между собой: 42 = (48+36)/2 и 51 = (48 + 54)/2. Мы много знаем про чевианы, которые делят сторону треугольника в отношении 1:1. Теперь нужно понять, координата по времени какой точки в треугольнике нас интересует.

Показать ответ и решение

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние $Si, i=1,2,3,4,$ в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

Si = kit+ bi

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

k1⋅k2 > 0, k1 > k2

Пусть $k1 >0,$ тогда и $k2 > 0.$

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

k < 0, k <0,k < k. 3 4 3 4

Построим графики функций согласно условию задачи.

$PIC$

Нужно определить абсциссу точки $M.$ Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Воспользуемся теоремой Фалеса:

AM-- x−-36- 2 MD = 51 − x = 1 =⇒ x= 46

Ответ:

на 46 секунде

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105231

Найдите все натуральные числа $n,$ для которых число $210+ 213 +214+3 ⋅2n$ является квадратом натурального числа.

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В точный квадрат все простые множители входят в чётных степенях. В нашей задачей рассматривают сумму, которая содержит степени двойки, так что можно рассмотреть именно степень вхождения двойки.

Подсказка 2

Попробуем провести разумный перебор. Допустим, самая маленькая степень вхождения двойки в слагаемые будет в 3*2ⁿ. Тогда она должна быть чётной, мы можем явно проверить эти случаи.

Подсказка 3

Пусть теперь n достаточно большое. Тогда можно вынести 2¹⁰, останется какая-то нечётная сумма, которая должна быть равна (2k+1)² для какого-то k.

Подсказка 4

После раскрытия скобок можно будет сократить на 4, а после разложить на множители. Остаётся заметить, что скобки, связанные с k, имеют разную чётность, а значит, одна из них гарантированно маленькая.

Показать ответ и решение

Рассмотрим несколько случаев

1) Пусть $n< 10,$ тогда $10 13 14 n n( 10−n 13−n 14−n ) N = 2 + 2 + 2 +3 ⋅2 =2 2 +2 + 2 + 3 ,$ второй сомножитель — нечетное число, $n ( k)2 2 = 2 ,n =2k.$

Если $n = 2,$ то $2( 8 11 12 ) 2 N =2 2 +2 + 2 + 3 = 2 ⋅6403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 4,$ то $( ) N =24 26+29+ 210+3 = 24⋅1603$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 6,$ то $( ) N =26 24+27+ 28+ 3 =26⋅403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 8,$ то $( ) N =28 22+25+ 26+ 3 =28⋅103$ не является квадратом натурального числа.

Пусть $n =10,$ тогда $10 13 14 10 12 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 (1+2+ 4)$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =11,$ тогда $10 13 14 11 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅31$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =12,$ тогда $10 13 14 12 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅37$ не является квадратом натурального числа.

3) Пусть $n> 12,$ тогда $N = 210(1+ 23 +24+ 3⋅2n− 10)= 210 ⋅(2k+ 1)2,$ и

25+ 3⋅2n−10 = 4k2+4k +1

n−10 2 3 ⋅2 = 4k +4k− 24

3⋅2n−12 = k2+ k− 6

3 ⋅2n−12 = (k +3)(k − 2)

Числа $k+3$ и $k − 2$ разной четности, следовательно, одно из них является делителем 3. Поскольку $k> 0$ , то либо $k− 2= 1$ , $k= 3,$ $3⋅2n−12 = 6,$ $n= 13,$ либо $k − 2= 3,k= 5,$ $3⋅2n−12 = 24,$ $n= 15.$

Ответ:

13, 15

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#105232

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD.$ Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите $CD,$ если $√- AC = 5 +1.$ Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке есть центр вписанной окружности, давайте тогда попробуем посчитать углы! Пусть угол ∠A=α, ∠B=β. Какие углы на картинке можно выразить через них?

Подсказка 2

Посчитайте ∠BAO и ∠ABO. Посмотрите, теперь мы можем выразить один через другой, использовав условие! Быть может, выразим через углы α и β все углы треугольника ABC?

Подсказка 3

α = 2β, то есть в равнобедренном треугольнике у нас один угол в два раза больше другого. Тогда несложно найти их все!

Подсказка 4

Нам нужно найти CD, который по сути является одним из отрезков, на которые делит биссектриса угла противоположную сторону! Каким свойством можно воспользоваться для поиска этого отрезка?

Подсказка 5

Хотелось бы воспользоваться свойством биссектрисы про отношение сторон треугольника! Но перед этим было бы хорошо выразить BD и AC (чтобы уравнение решалось). А что можно сказать про треугольники ABD и ADC? ;)

Показать ответ и решение

Пусть $∠A = α, ∠B = β.$ Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABD$ окружности. Тогда

α- β ∠BAO = 4 ; ∠ABO = 2,

так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Поскольку $O$ — центр описанной вокруг $ABC$ окружности, то треугольник $AOB$ равнобедренный. Следовательно,

α ∠BAO =∠ABO, β = 2.

$PIC$

Треугольники $AOC$ и $BOC$ равнобедренные, и

∠ACO = 3α, ∠BCO = α. 4 4

Поскольку $∠A +∠B + ∠C =180∘ :$

α + α+ 3α + α-= 180∘ =⇒ α= 72∘ 2 4 4

Так как

3α α- ∘ ∠A =α = ∠C = 4 + 4 = 72 ,

то треугольник $ABC$ равнобедренный, а $∘ ∠B = 36.$

Пусть $AC = x, CD = y.$ Треугольники $ABC$ и $CAD$ подобны по трём углам:

x x+ y y = -x-- =⇒ x2− xy − y2 = 0

По условию $√- x= 5+ 1,$ поэтому $y = 2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105233

Найдите все значения параметра $b,$ при котором для любого значения параметра $a∈[−2;1]$ неравенство

2 2 2 a +b − sin 2x− 2(a+ b)cos2x− 2>0

не выполняется хотя бы для одного значения $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения, связанные с x, являются тригонометрическими функциями, так что полезно сделать замену cos 2x = y. Тогда мы знаем, какие значения принимает y, и при этом избавились от косинусов.

Подсказка 2

У нас получается парабола от y с ветвями вверх. Нас интересует её минимум на отрезке: он будет или на границе отрезка, или в вершине параболы. Это позволяет получить какие-то системы неравенств.

Подсказка 3

Теперь задачу можно изобразить на графике в осях aOb, поскольку у нас как раз 2 параметра. Тогда значения параметров, для которых существует хотя бы один плохой y, лежат внутри пересечения графиков.

Подсказка 4

Нас интересуют такие b, что весь отрезок [-2; 1] будет лежать в области внутри графиков. Осталось подставить крайние значения для a и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $y =cos2x, y ∈ [−1;1].$ Тогда:

2 2 2 a + b − sin 2x − 2(a+ b)y− 2> 0

2 2 2 a +b − 1+y − 2(a+b)y− 2> 0

y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2 − 3> 0

Найдем при каких $a$ и $b$ неравенство выполняется для любых $y ∈[−1;1].$ Рассмотрим функцию

f(x)= y2− 2(a+ b)y +a2+ b2− 3

Ее графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $y0 =− −2(2a⋅+1b)= a+ b.$ Рассмотрим три случая местоположения вершины относительно отрезка $[−1;1]:$

{ { { a+ b≤ −1 (1) −1< a+ b< 1 (2) a+ b≥1 (3) f(−1)>0 f(a +b)> 0 f(1)> 0

{ { { a+ b≤− 1 (1) −1 <a +b< 1 (2) a+ b≥ 1 (3) (a +1)2+ (b+ 1)2 > 4 ab< −1,5 (a− 1)2+ (b − 1)2 > 4

На координатной плоскости $aOb$ изобразим множество точек $(a,b),$ удовлетворяющих всем трём условиям. Точки, для которых неравенство не выполняется хотя бы для одного $y ∈ [−1;1]$ , лежат внутри области, ограниченной графиками. Проверим область на замкнутость:

$PIC$

Точки пересечения графиков $(a+1)2+ (b+ 1)2 =4$ и $a+ b= −1:$

(a+ 1)2+ (−1− a+1)2 = 4

2a2+ 2a− 3= 0

⌊ − 1− √7 || a= ---2√-- ⌈ a= −-1+--7 2

Точки пересечения графиков $ab= −1,5$ и $a+ b= −1:$

a⋅(− 1− a)= −1,5

2 −a − a + 1,5= 0

⌊ √ - a= −-1−--7 ||⌈ 2√ - a= −-1+--7 2

Аналогично проверяем точки пересечения графиков с $a +b= 1.$ Точки совпадают, значит, область замкнутая.

В итоге, точки, для которых неравенство $y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3> 0$ не выполняется хотя бы для одного $y ∈[−1;1],$ образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения $b,$ при которых точки $(a,b)$ попадают в получившуюся область для любых $a∈ [−2,1].$ Такие значения $b$ образуют отрезок $[b1;b2].$

$b1$ найдем, подставив $a= 1$ в уравнение гиперболы. $b2$ найдем, подставив $a= −2$ в уравнение окружности $2 2 (a+ 1)+ (b+1) = 4.$ Получаем $[ √ - ] −1,5; 3− 1 .$

Ответ:

$[−1,5;√3− 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105234

Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD.$ Высота пирамиды $TK$ равна 1, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC,$ причем $KC = KA +AC.$ Боковое ребро $TC$ равно $√ - 2 2,$ а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $∘ 30$ и $∘ 60.$ Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром $T A$ и плоскостью боковой грани $TCD.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти сторону основания, нужно собрать про него побольше информации. Нам даны углы наклона боковых плоскостей к основанию, а также длина высоты. С помощью этого можно найти длины некоторых отрезков в основании, используя теорему о трёх перпендикулярах.

Подсказка 2

Проведите перпендикуляр из K к прямым AB и DC. Обозначьте точки пересечения с ними M и N. Как раз там и будут углы между боковыми плоскостями и основанием. Теперь вы можете легко посчитать KM, KN, CK. А дальше небольшой счёт в ромбе даст вам длину стороны.

Подсказка 3

Давайте теперь построим угол между TA и TCD. Для этого нам нужен перпендикуляр из точки A на плоскость TCD. Пусть FA || TK и F лежит на TC, а AL || DC и L лежит на MC. Может поискать его в плоскости AFL?

Показать ответ и решение

Обозначим точки пересечения прямых $AB$ и $CD$ с перпендикуляром из точки $K$ к этим прямым за $N$ и $M$ соответственно.

$PIC$

Тогда, так как угол $∘ KNT = 60$ и $TK$ — перпендикуляр к плоскости основания, получаем. что

√- KN = tTgK60∘ = TK3-3

Аналогично для угла $KMT =30∘$

√- KM = T-K--=TK √3, NM = 2-3TK tg30∘ 3

Так как треугольник $TKC$ прямоугольный с гипотенузой $T C,$ то по теореме Пифагора

∘--------- KC = T C2− TK2

Аналогично для треугольника $KCM$

∘---2-----2 ∘ --2-----2- MC = KC − KM = TC − 4TK

Пусть $∠ACD = α,$ тогда

sinα = KM-, cosα = MC- KC KC

По формуле синуса двойного угла получим

2KM--⋅MC-- sin2α = KC2

Тогда сторона основания равна

MN a =AD = sin-2α-

Откуда получаем

2 2 2 a= √T-K⋅KC--- = √TC-2− TK-2-= 76 3KM ⋅MC 3 TC − 4TK

√ - √- AK = KN--= KC-⋅TK--3= KC-⋅TK√--3 sinα 3KM 3TK 3

Так как $TK = 1,$ то

AK- 1 KC = 3

Проведем $AF ∥T K,$ так как $KC = AK +AC,$ то $KA :AC = 1:2,$ откуда получим

2TK FA = -3--

Построим перпендикуляр $AL ⊥ MC.$ Так как $ANML$ — прямоугольник, то

√ - AL= MN = 2-3TK 3

Из прямоугольного треугольника $AF L$ получаем

∘---2----2 4 FL = F A + AL = 3TK

Построим $AP ⊥ FL, AP ⊥ TDC, TP$ — проекция $TA$ на плоскость $TDC,$ угол $AT P$ — искомый угол. $∠ATP = φ,$ тогда

AP √3TK √3TK √3TK √3 sinφ= T-A = 3√T-K2+-AK2-= √8TK2-+-TC2 = √8TK2+-TC2-=-4-

√ - φ = arcsin--3 4

Ответ:

$7 √3- 6 , arcsin 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#110244

Решите неравенство

||3x2+8x − 3||+||3x4+ 2x3− 10x2+30x− 9|| -----------|x−-2|−-2x−-1---------- ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на нашу дробь: что можно сказать про знак её числителя?

Подсказка 2

Верно, он неотрицателен. А когда дробь с неотрицательным числителем является неположительной?

Подсказка 3

Да, либо когда её числитель равен нулю, либо когда знаменатель отрицателен. Осталось только разобрать два этих случая. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Для начала распишем ОДЗ:

⌊ ({ x< 2 || 1 ( ) ( ) |x− 2|− 2x− 1⁄= 0⇔ || ({ x⁄= 3 ⇔ x∈ −∞; 1 ∪ 1;+∞ |⌈ x≥ 2 3 3 x⁄= 3

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность: