Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .03 ШВБ 2017

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78773

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Подсказка 2

Верно, если мы раскроем модуль со знаком минус, то второе уравнение будет нарушать ОДЗ, поэтому y>0. Теперь можно немного преобразовать второе уравнение и подумать, что с ним делать. Можем ли мы сходу сократить на √x?

Подсказка 3

Да, просто сократить мы не можем. Нужно отдельно рассмотреть x=0 и x>0. Для x=0 мы сразу получаем решение, главное не забыть, что y>0. Теперь же мы можем сократить на √x второе уравнение. Отлично. Давайте подставим y через √x в первое уравнение. Как можно тогда преобразовать x-1, чтобы ситуация стала аналогичной прошлой?

Подсказка 4

Верно, ведь x - 1 = (√x + 1)(√x - 1). Получается нужно снова рассмотреть вариант, когда √x-1=0. Когда же он не равен нулю, то можно сократить и выразить x и y через а. Теперь нам осталось аккуратно выписать решения при всех a. Но про что нужно не забыть при решении параметра?

Подсказка 5

Верно, нужно проверить совпадение корней. Это можно сделать, приравняв их и узнав, при каких a это будет. По итогу, у вас должно получится три разных решения при различных a. Победа!

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103421

Найдите множество значений функции

-----1----- f(x) =g (64g(g(lnx))) 1025 ,

где $g(x)= x5 +-1. x5$

Показать ответ и решение

Рассмотрим сначала функцию $h(t)= t+1∕t.$ Функция $h(t)$ определена для всех $t⁄= 0.$ Найдем экстремумы функции $h(t).$

Для того найдем интервалы знакопостоянства производной функции:

′ 1 (t− 1)(t+ 1) h (t)= 1− t2 =----t2-----

h′(t)=0 при t= ±1

Проходя через точку $t= −1,$ производная $′ h(t)$ меняет знак с плюса на минус, следовательно, $t= −1$ является точкой максимума:

hmax = h(−1)= −2

Проходя через точку $t= 1,$ производная $′ h (t)$ меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $t=1$ является точкой минимума:

hmin =h(1)=2

Множеством значений этой функции является множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

Функция $g(x)= x5+ 1∕x5 = h(x5).$ Поскольку функция $t=x5$ возрастает на промежутке $(− ∞;0)∪(0;+ ∞)$ и принимает все числовые значения, то множеством значений функции $h(x5),$ следовательно, и $g(x),$ является множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

причем $gmax = g(−1)=− 2,$ $gmin = g(1)= 2.$ По той же причине множеством значений функции $g(ln(x))$ также является множество $(−∞;− 2]∪ [2;+∞ ).$

Найдем множество значений функции $g(g(lnx))= g(q)$ :

Так как функция нечетная, то будем рассматривать только неотрицательные аргументы. так как функция $g(q)$ определена при $q ∈ [2;+∞ ),$ и на этом промежутке возрастает, то ее минимальное значение

gmin = 25+1∕25 = 1025∕32

Тогда областью значений функции $g(g(lnx))$ является множество:

(−∞; −1025∕32]∪ [1025∕32;+∞),

а функции $64⋅g(g(lnx)) 1025$ — множество:

(−∞; −2]∪[2;+∞ )

Значит, множество значений функции $(64⋅g(g(lnx))) g --1025--$ равно множеству значений функции $g(g(lnx)).$

Таким образом:

( ) g 64⋅g(g(lnx)) ∈(−∞; −1025∕32]∪ [1025∕32;+∞) 1025

Отсюда находим множество $Ef$ значений функции $f(x)= -(---1----)- g 64⋅g(g10(l2n5x))$

[ -32- ) ( -32-] Ef = −1025;0 ∪ 0;1025

Ответ:

$[− -32-;0)∪ (0;-32-] 1025 1025$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105942

Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми равно $8$ км, одновременно вышел турист и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее получаса, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A,$ увеличив при этом свою скорость на $25%.$ Через $10$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с туристом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) туриста, и для этого значения скорости туриста найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решение любой задачи на скорость начинается с правильного введения неизвестных. Пусть x км/ч — скорость туриста, а y км/ч суть первоначальная скорость велосипедиста, t — время в часах, затраченное велосипедистом на путь от A до B. Какие уравнения можно составить, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно! Из условия имеем x(t + 1/6) + 5y/24 = 8, yt = 8 и, кроме того, t ≥ 0,5. Можно ли теперь в первом уравнении оставить две переменных?

Подсказка 3

Конечно! Тогда получится 5y² + (4x-192)y + 192x = 0. Какое теперь нужно условие, чтобы это уравнение имело решения?

Подсказка 4

Верно! Нужно потребовать неотрицательность дискриминанта! Какое тогда наибольшее возможное значение x (с учетом, что это натуральное число) и какое значение y ему соответствует?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость туриста, $y$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, $t$ ч — время, затраченное велосипедистом на путь от $A$ до $B.$ Тогда

( |{ x(t+ 1∕6)+5y∕24 =8 |( yt=8 t≥0,5

(8 1) 5y- x ⋅ y + 6 + 24 = 8

5y2+(4x− 192)y+ 192x= 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело решение, необходимо

D∕4 =(2x− 96)2− 960x≥ 0

x2− 336x+ 2304 ≥0

√ - √ - x ∈(−∞;168− 72 5]∪ [168+ 72 5;+∞ )

Поскольку по условию $x∈ N,$ и $x∕6 <8,$ т.е. $x< 48,$ то $√- x∈ [1;168 − 72 5]∩N.$ Используя оценку $√- 2,23< 5< 2,24,$ получаем оценку $√- 160 <72 5 <161$ и $√- 7< 168 − 72 5< 8.$ Наибольшее возможное целое значение скорости $xmax = 7.$ Найдем первоначальную скорость велосипедиста при $x= 7$ из уравнения

5y2− 164y+ 192⋅7= 0

y1 = 84∕5;y2 =16

Поскольку $t≥ 0,5, t= 8 ≥ 1, y 2$ и $y ≤ 16,$ то $y = 16.$

Ответ: 7 км/ч, 16 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#106682

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 5,BK = 16$ , $KC = 2.$ Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P,$ причем $CP > CD.$ Найдите $DP,$ если $∠APB = ∠BAC.$