Тема ШВБ (Шаг в будущее)

ШВБ - задания по годам → .02 ШВБ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Разделы подтемы ШВБ - задания по годам

ШВБ 2015 и ранее

ШВБ 2016

ШВБ 2017

ШВБ 2018

ШВБ 2019

ШВБ 2020

ШВБ 2021

ШВБ 2022

ШВБ 2023

ШВБ 2024

ШВБ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87804

Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $2016 819 ⋅6$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Имеем геометрическую прогрессию $b ,b q,b q2,...,bqn−1,... 1 1 1 1$ причем $b qn−1 ∈ℕ 1$ для любого номера $n∈ ℕ$ . Таким образом, $b 1$ и $q$ являются натуральными числами. По условню $2016 b3 +b5+ b7 =819⋅6$ , или

2 4 6 2016 2018 2( 2 4) 2016 2018 b1q+ b1q +b1q =2 ⋅3 ⋅7⋅13, b1q 1+ q+ q = 2 ⋅3 ⋅7⋅13

Натуральное число $1 +q2+ q4$ при любом $q ∈ℕ$ есть нечетное число, следовательно, $1+ q2+ q4 = 3k⋅7l⋅13m$ , где $k ∈{0,1,...,2018}$ , a $l,m ∈ {0,1}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Если $k = 0$ , то $2 4 l m 1+q + q = 7⋅13 ,l∈{0,1}$ .

а) При $l= 0$ получаем уравнение $2 4 m q +q = 13$ , которое не имеет натуральных решений (дискриминант $m D =1 +4⋅13$ равен 5 при $m = 0$ , и равен 53 при $m = 1$ .

б) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение $2 4 q + q − 7 =0$ , которое не имеет натуральных решений ( $D =29$ ).

в) При $l= 1$ и $m =1$ получаем уравнение:

q2+q4− 90= 0⇒ q2 = 9⇒ q = 3.

При этом $2016 b1 = 6$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Если $k = 1$ , то $2 4 l m 1+q + q = 3⋅7⋅13$ , где $l,m ∈ {0,1}$ .

a) При $l= 0$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 2 =0⇒ q2 =1 ⇒ q = 1.

При этом $2016 b1 = 6 ⋅3⋅91$ .

б) При $l= 0$ и $m =1$ получаем уравнение $2 4 q + q − 38= 0$ , которое не имеет натуральных решений $(D =153)$ .

в) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4− 20= 0⇒ q2 = 4⇒ q = 2

При этом $b1 = 22014⋅32017⋅13$ .

г) При $l= 1$ и $m= 1$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 272= 0⇒ q2 = 16⇒ q = 4

При этом $2012 2017 b1 = 2 ⋅3$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Если $k ∈{2,...,2018}$ , а $l,m ∈ {0,1}$ , то $2 4 k l m 1+q + q = 3 ⋅7⋅13$ . Для полученного биквадратного уравнения

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

вычислим дискриминант:

( ) ( ) D =1 − 4 1− 3k⋅7l⋅13m =3 4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1 .

Поскольку при $k ∈{2,...,2018}$ и $l,m∈ {0,1}$ , число $4 ⋅3k−1⋅7l⋅13m$ делится на 3 , то $4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1$ не делится на 3, и $√-- D$ является иррациональным числом. Следовательно, уравнение

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

натуральных корней не имеет.

Ответ: Знаменатель может быть равен 1, 2, 3 или 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#106822

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 4x − 8|x|+(2a+ |x|+x) = 4

имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a.$

Показать ответ и решение

1.

Пусть $x >0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

2x2+ x(2a− 2)+a2− 1= 0

1.1.

Обозначим здесь и далее $x0$ абсцису вершины пораболы. Пусть данное уравнение имеет два положительных корня. Это эквиваленто условиям:

( (|{ D > 0 ||{ −4a2− 8a+ 12> 0 (|{ a∈ (−3;1) x0 > 0 ⇔ −2a+-2> 0 ⇔ a< 1 ⇔ a ∈(−3;−1) |( f(0)>0 ||( a24− 1 >0 |( a∈ (−∞;−1)∪ (1;+∞ )

1.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

{ D= 0 ({ −4a2− 8a +12= 0 ⇔ ( −2a+-2 >0 ⇔ a= −3 x0 >0 4

Если уравнение имеет два корня, но только один из них положительный, а второй отрицательный:

{ { { D > 0 −4a2− 8a +12> 0 a ∈(−3;1) f(0)< 0 ⇔ a2− 1< 0 ⇔ a ∈(−1;1) ⇔ a∈ (−1,1)

Если уравнение имеет два корня. Один из них положительный, а второй равен $0$ :

(| D > 0 (|| −4a2− 8a +12> 0 (| a ∈(−3;1) { f(0)=0 ⇔ { a= ±1 ⇔ { a = ±1 ⇔ a= −1 |( x > 0 ||( −2a+-2 >0 |( a ∈(−∞; 1) 0 4

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один положительный корень при $a∈ {− 3} ∪[− 1;1).$

1.3.

Пусть данное уравнение не имеет положительных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

2 −4a − 8a+ 12< 0

a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞)

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0:

{ { D= 0 a∈ {− 3;1} f(0)= 0 ⇔ a= ±1 ⇔ a= 1

Объединяя оба случая, получаем, что уравнения не имеет положительных корней при $a∈ (−∞;−3)∪ [1;+∞).$

2.

Пусть теперь $x< 0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

x2+ 2x+a2− 1= 0

2.1.

Пусть данное уравнение имеет два отрицательных корня. Это эквиваленто условиям:

( ( |{ D >0 ||{ 8 − 4a2 > 0 { √- √- √- √- | x0 < 0 ⇔ | −2< 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) ⇔ a ∈(− 2;−1)∪ (1; 2) ( f(0)> 0 |( a22 − 1> 0 a ∈(−∞;− 1)∪ (1;+∞ )

2.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

( { D =0 { 8− 4a2 =0 √ - x0 < 0 ⇔ ( −-2< 0 ⇔ a= ± 2 2

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй положительный:

{ { 2 { √- √- D > 0 ⇔ 82− 4a > 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) f(0) <0 a − 1< 0 a ∈(−1;1)

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй равен $0$ :

( ( 2 |{ D > 0 ||{ 8− 4a > 0 { a ∈(−√2;√2) | f(0) =0 ⇔ | a−22− 1 =0 ⇔ a =±1 ( x0 < 0 |( -2-<0

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один отрицательный корень при $a∈ {±√2}∪ [− 1;1].$

2.3.

Пусть данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

8 − 4a2 > 0

a∈(−∞; −√2)∪(√2;+∞ )

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0

{ D =0 { a= ±√2- f(0)= 0 ⇔ a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

В итоге уравнение не имеет отрицательных корней при $a∈ (−∞; −√2)∪ (√2;+∞ ).$

3.

Пусть $x =0.$ Тогда $a= ±1.$

Теперь выберем случаи, когда уравнение имеет ровно два корня.

Вариант 1. Если в случае 1 ровно два корня, в случае 2 и в случае 3 нет корней:

( |{ a∈(−3;−1)√- √- √- |( a∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ ) ⇔ a ∈(−3;− 2) a⁄= ±1

Причем корни будут

−(2a − 2)± √−4a2−-8a+12 1 ∘ ---------- x1,2 =----------4-----------= 2(1− a± −a2− 2a+ 3)

Вариант 2. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 2 ровно один, а в случае 3 нет корней:

( |{ a∈ {− 3}√-∪[−1;1) |( a∈ {± 2}∪[−1;1] ⇔ a∈ (− 1;1) a⁄= ±1

Причем корни будут:

−(2a− 2)+ √−-4a2-− 8a+-12 1 ∘ ---------- x1 =----------4-----------= 2(1− a + −a2− 2a+3)

√------ x2 = −2−-8-− 4a2= −1− ∘2-− a2 2

Вариант 3. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 2 нет корней:

(| a∈ {−3}∪[−1;1) { a∈ (− ∞;−√2)∪ (√2;+ ∞) |( a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

Вариант 4. Если в случае 2 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 1 нет корней:

(|{ a ∈(−∞;− 3)∪[1;+∞ ) a ∈{±√2} ∪[−1;1] ⇔ a= 1 |( a =±1

Причем корни будут:

√----------- x = −(2a−-2)+--−-4a2-− 8a+-12= 1(1− a +∘ −a2−-2a+3) 1 4 2

−2− √8-− 4a2 ∘ ----- x2 =-----2-----= −1− 2− a2

Вариант 5. Если в случае 2 ровно два корня, в случае 1 и в случае 3 нет корней:

(| a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞) { a∈ a∈ (−√2;− 1)∪ (1;√2) ⇔ a∈ (1;√2) |( a⁄= ±1

Причем корни будут:

x1,2 = −1± ∘2-− a2

Ответ:

$a ∈(−3;−√2), x = (1− a±√3-−-2a-− a2)∕2 1,2$

$( √--------) √ ----- a∈(−1;1], x1 = 1− a+ 3− 2a− a2 ∕2, x2 =− 1− 2− a2$

$√- √----- a∈(1; 2), x1,2 = −1± 2− a2$

Предыдущая подтема

Следующая подтема