Тема . ШВБ - задания по годам

ШВБ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб - задания по годам

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101417

Найдите наибольшее натуральное число $n,$ для которого верно неравенство

(3 3 3) 1 + 2 + ⋅⋅⋅+n − 106(1+ 2+ ⋅⋅⋅+n)+ 105≤ 0

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму $12 +22+ ⋅⋅⋅+ n2 :$

∑n n∑ ( ) 13+23+ ⋅⋅⋅+ n3+ (n +1)3 = 1+ (1+k)3 = 1+ 1+ 3k+ 3k2+ k3 = k=1 k=1

3(n-+1)n ∑n 2 ∑n 3 = 1+ n+ 2 + 3k=1k +k=1k

Заметим, что сумма кубов до $n$ вся сокращается, и остаётся только $(n +1)3.$ Отсюда выразим сумму квадратов.

3∑n k2 = (n+ 1)3− 1− n− 3(n+-1)n k=1 2

n ∑ k2 = n(n-+1)(2n-+1) k=1 6

Теперь проделаем аналогичные преобразования для вычисления суммы $3 3 3 1 +2 + ⋅⋅⋅+ n :$

n+∑1k4 =1+ ∑n (1+ k)4 = 1+∑n (1+ 4k +6k2+ 4k3 +k4)= k=1 k=1 k=1

n n n = 1+ n+ 4(n-+1)n+ 6∑ k2+ 4∑ k3 +∑ k4 2 k=1 k=1 k=1

n∑ 4 k3 = (n+ 1)4− 1− n− 4(n-+1)n− n(n+ 1)(2n +1)= k=1 2

( 3 2 ) = (n+ 1) (n+ 1) − 1− 2n − 2n − n

∑n 3 n2(n +1)2 k = ---4---- k=1

Все эти формулы, конечно, желательно и так помнить, но если забыли, то можно будет вывести так или по индукции. Тогда возвращаясь к неравенству

(13+ 23+⋅⋅⋅+n3)− 106(1+ 2+⋅⋅⋅n)+ 105≤ 0⇔

n2(n+-1)2-− 106n(n+-1)-+105≤ 0 4 2

( n(n-+1)- )( n(n-+1)- ) 2 − 1 2 − 105 ≤ 0

n2 +n − 210≤ 0

(n+ 15)(n− 14)≤ 0

Отсюда получаем, что наибольшее натуральное значение, при котором верно равенство, равно $14.$

Ответ:

$n =14$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

ШВБ 2021

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ