ШВБ 2022

Подсказка 1

С первого взгляда очень страшное выражение: множество корней и модулей, — не совсем понятно, что с ними делать. Но как только видим справа ноль, сразу становится легче. Какое самое важное ограничение есть у корней, которое необходимо вспомнить?

Подсказка 2

Верно, все они неотрицательные! То есть задумаемся. Если хотя бы один из них не ноль, то тогда всё выражение точно больше нуля, и равенства не будет. Как теперь это можно переписать с точки зрения алгебры?

Подсказка 3

Да, можно записать как систему, что все три корня равны нулю. Теперь внимательно посмотрим на получившиеся уравнения. Первое из них содержит только одну переменную. Значит, его легко решим. В остальных уравнениях видим похожую идею, как в изначальном уравнении. Когда у нас произведение чисел равно нулю? Как можно это переписать?

Подсказка 4

Верно, это уже будет совокупность, что какое-то из них равно нулю. Далее применяя эти две идеи, можем решить и третье уравнение исходной системы. Осталось только верно записать решение и победа!

Подсказка 1

Для начала, надо обозначить количество больших и малых колб, учитывая, что их сумма равна 100 и количество каждого типа не меньше 3. Теперь, давайте переберем все случаи, которые могут быть при вытаскивании трёх колб и поймем, какие нам подходят, а какие нет.

Подсказка 2

Да, если мы вытащим три большие колбы, то содержание соли будет 50 процентов, это нам подходит, так как(0.8V+0.5V+0.2V)/(3V) = 0.5. Переберите остальные случаи, а после этого вспомните, что мы как-то обозначили количество больших и малых колб(например, N - количество больших колб, а n - маленьких)

Подсказка 3

Верно, если мы переберем все случаи, то получим, что условие на процентное содержание выполняется, когда у нас 3 больших или три малых колбы, также если в маленькую колбу залить 50% раствор, а остальные колбы большие и последний случай, когда в большую колбу залили 50% раствор, а остальные колбы маленькие! Осталось написать уравнение через определение вероятности, ведь всего вариантов выбрать три колбы(если их пронумеровать, чтобы все они были различны) 100*99*98

Подсказка 4

После приведения подобных у нас останется уравнение ((N-50)²+2450)/4950 < 1/2. Остаётся найти такое минимальное N(мы сравниваем именно с одной второй, так как вероятность выпадения одного орла и одной решки за 2 броска равна 1/2)

Подсказка 1

Сразу запишем все отрезки через переменные, пользуясь свойством биссектрисы) Как воспользоваться тем, что у четырехугольника есть две равные стороны? Не забываем, что диагональ DB является биссектрисой!

Подсказка 3

Произведение отрезков диагонали равны! Запишем это, и, т.к. у нас все отрезки теперь выражены с помощью двух переменных, сможем применить теорему косинусов, чтобы избавиться от одной переменной) Осталось лишь понять, как искать косинус нужного угла, если мы знаем отношения практически всех отрезков на картинке!

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Подсказка 1.

Сразу же введём основание высоты пирамиды (например, через точку H) и центр шара (например, через точку O). Раз в условии у нас правильная пирамида, то центр данного шара лежит в плоскости SHC. Тогда удобно будет провести прямую, проходящую через центр O параллельно SH (пусть это прямая PR). Мы сразу знаем OP, ведь он равен радиусу, а также то, что RP перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Введём коэффициент подобия треугольников SCH и RCP (пусть он равен 1/k). Тогда, зная SH, мы можем выразить PR через k. Хорошо бы было выразить ещё отрезки через k, чтобы впоследствии прийти к уравнению и найти k. Попробуйте сделать это в плоскости ABCD.

Подсказка 2.

В плоскости ABCD мы можем провести прямую, проходящую через P параллельно AB. Пусть она пересекает BC в точке N. Тогда, так как ABCD — квадрат, то AH = HC, и с помощью этого мы легко можем выразить PN через AB и k. Теперь можно заметить, что точка касания шара и плоскости SBC лежит на RN. Что тогда мы можем сказать про треугольники ROE и RPN?

Подсказка 3.

Верно, они подобны. Тогда, записав подобие, мы можем получить уравнение на k, откуда k = 1/3. Отлично, теперь пора возвращаться к плоскости из условия. Чтобы найти объём MBCK, нужно найти высоту из M на BCK (пусть это отрезок MG) и площадь треугольника BCK. С треугольником BCK нет никаких проблем, ведь мы знаем сторону квадрата ABCD и отношение CK к KD, а значит, можем найти любой элемент треугольника. Но как же найти MG? Попробуйте выразить его через SH и коэффициент подобия треугольников MCG и SCH (пусть он равен n). Чтобы найти n, можно использовать угол между плоскостями MKB и KBC, опустив высоту GV на BK.

Подсказка 4.

Используя подобие треугольников VFG и FKC (F является точкой пересечения BK и AC), мы можем выразить GV через n. Тогда мы можем выразить тангенс угла MVG через n. Отлично! Теперь осталось лишь найти этот угол. Мы знаем, что он является линейным углом двугранного угла между плоскостями MKB и KBC. Для решения задачи мы ещё не использовали, что плоскость MKB касается шара (пусть точка касания — точка T). Зная это, мы можем опустить перпендикуляр PQ на BK и получить, что TQP также является линейным углом двугранного угла между плоскостями MKB и KBC. Теперь нужно найти угол TQP. Его не очень удобно искать, однако посмотрите на треугольники OTQ и OQP. Попробуйте найти угол, используя их равенство.

Подсказка 5.

Треугольники OTQ и OQP равны, а значит и углы TQO и OQP. Тогда угол TQP в два раза больше угла OQP. А вот угол OQP легко найти, ведь мы можем выразить PQ через подобие треугольников QFP и KFC, а OP мы знаем. Так мы найдём тангенс угла OQP. Затем по формуле тангенса двойного угла найдём тангенс угла TQP и, подставив в уравнение, найдём n. Осталось лишь подставить n в формулу MG и найти объём.

Пункт а, подсказка 1

Вспомним формулу площади шарового сегмента: S = 2πR*h, где h = АЗ. Осталось только найти h и посчитать

Пункт б, подсказка 1

Пусть В — точка касания C₀ и C₁, а З, З₁, З₂ — точки пересечения радиусов сферы, проходящих через центры окружностей. sin(а) можно найти из треугольника АВО. Заметим равенство углов ЗОВ и ВОЗ₁, что делает угол ЗОЗ₁ равным 2а. Найдем ЗЗ₁ через равенство треугольников ОГВ и ОЗ₁З(по двум сторонам и углу). Как нам связать это с количеством окружностей?

Пункт б, подсказка 2

Через двугранный угол при ребре ОЗ. Он будет зависеть от количества таких окружностей и равняться 360°/n

Пункт б, подсказка 3

Чтобы его выразить, опустим перпендикуляры из точек З₁ и З₂ на ребро ОЗ. Пирамида ОЗЗ₁З₂ правильная, поэтому З₁Н и З₂Н пересекутся в одной точке Н и будут равны. Теперь нам нужно их найти.

Пункт б, подсказка 4

Рассмотрим треугольник З₂НЗ₁. Выразим З₂З₁, которую мы уже знаем, через З₁Н и половину угла З₂НЗ₁. Из уравнения выразим sin(180°/n). Осталось только его оценить и получить из этого оценку на n!