Изумруд - задания по годам → .04 Изумруд 2022

Давайте поймем, как реализовать странное условие про угол. Вспомним про то, что внутренняя и внешняя биссектрисы одно и того же угла перпендикулярны. Тогда давайте дополнительно отметим центр вневписанной окружности данного треугольника, касающейся стороны Пусть это Значит,

Так как то — средняя линия треугольника По лемме о трезубце — середина следовательно, Тогда

Пусть — середина стороны Тогда по свойству медианы:

Тогда

Так как — середина дуги не содержащей то

А это означает требуемое.

Каждое число в вершине участвует ровно в четырёх суммах. Заметим, что для получения простой суммы к числам 6 и 12 можно прибавить только 1, 5, 7 и 11. Значит для вершин, в которых стоят числа 6 и 12, наборы соседних чисел и чисел, стоящих от них через две вершины, должны совпадать. Однако, для каждой вершины эти наборы различны, поэтому хотя бы одна из сумм не будет являться простым числом.

Пронумеруем клетки таблицы так, как показано на рисунке. Ясно, что в левой верхней клетке стоит число 1, а в правой нижней — число 9.

По условию поэтому Рассмотрим случаи.

1) Если то числа и — это 2 и 3. Способов их расстановки всего 2. Теперь вычислим количество вариантов выбора чисел и На их место можно поставить любую из оставшихся пар чисел, причём поэтому расстановка каждой пары определяется однозначно. Всего таких пар Оставшиеся два числа расставляются однозначно. Всего получилось вариантов расстановки.

2) Если то числа и — это 7 и 8, и случай аналогичен предыдущему. Получаем ещё 12 вариантов расстановки.

3) Если то посмотрим, какие числа могут стоять в клетках с номерами и На их место нельзя ставить числа 2 и 8, так как эти числа обязаны быть соседями 1 и 9 соответственно. Если то и Любое из оставшихся чисел можно поставить в клетку тремя способами, оставшиеся числа ставятся однозначно. Рассмотренный вариант аналогичен случаям и — в каждом получаем по 3 варианта расстановки, но были дважды посчитаны случаи, когда числа и — это 3 и 7. Всего таких случаев два:

В итоге получаем вариантов.

Если ни одно из чисел в клетках и не равно 3 или 7, то в клетках и могут стоять лишь числа 4 и 6 в любом порядке. Тогда в клетках и стоят числа 2 и 3 в любом порядке, а в клетках и — числа 7 и 8 в любом порядке. Всего 8 вариантов расстановок.

Все случаи разобраны, искомое число вариантов равно

Рассмотрим два случая.

1) Число — полуцелое, тогда и исходное уравнение примет вид

Корнями данного уравнения являются числа но тогда числа не являются целыми, значит решений нет.

2) Имеет место равенство

где и тогда

А также исходное уравнение примет вид

Выразим из уравнения и получим

Решения существуют только при Найдём все удовлетворяющие неравенству

Если , то и может иметь решение только лишь неравенство

которое после возведения в квадрат равносильно

Поскольку и , то — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

Если то решений нет, так как — целое.

Если , то и может иметь решение только лишь неравенство

Поскольку и то — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

Предположим, что такое могло случиться. Тогда существует натуральное такое, что Значит число

является натуральным, откуда

Случай невозможен, так как тогда число

также является натуральным, откуда

Теперь если то что невозможно. Если же то

Значит,

Это невозможно. Следовательно,

Предположим теперь, что нашлись числа и с различными ненулевыми остатками при делении на 3, то есть

Поскольку число

является натуральным, то

Но тогда

Это невозможно, так как квадраты имеют остатки 0 или 1 при делении на 3. В итоге мы доказали, что числа с остатками 1 и 2 при делении на 3 не могут быть соседними.

Поскольку это означает, что после стоят несколько чисел с остатком 2 при делении на 3, затем где-то стоит число 3. Если после тройки стоит число с остатком 2 при делении на 3, то все числа далее будут с таким же остатком и в последовательности простых чисел не будет ни одного числа с остатком 1 при делении на 3 (такие есть, например, число 7).

Следовательно, после тройки стоит число с остатком 1 при делении на 3 и все числа за ним имеют такой же остаток. Но тогда до тройки стоит лишь конечное число простых чисел с остатком 2 при делении на 3.

Предположим, что простых чисел вида конечное число. Обозначим все такие числа через Число не делится на простые числа и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит среди его простых делителей должно быть число вида — противоречие.