Изумруд - задания по годам → .03 Изумруд 2021

Посмотрим на числа 2, 3, 6, 48:

1) сумма квадратов 2, 3, 6 равна 48+1;

2) числа 3, 6, 48 делятся на 2+1, поэтому и сумма квадратов;

3)

4)

Для удобства обозначим изначально записанные на доске числа как .

Поскольку любые два начальных числа взаимно просты, все попарные произведения будут различными, а всего их будет . Именно столько чисел останется после того, как Максим сотрёт все изначальные числа. Все оставшиеся числа имеют вид , где . Произведение двух оставшихся чисел может быть одного из двух видов: или , где .

Всего различных чисел вида столько же, сколько и различных четвёрок чисел , а их всего . Каждое из чисел вида может быть получено тремя способами: при перемножении чисел и и или и . То есть каждое из таких чисел будет написано трижды, поэтому с учётом повторяющихся чисел всего их будет написано 630 .

Чтобы узнать количество чисел вида , необходимо вычесть из количества всех чисел количество чисел вида (с учётом повторяющихся). После второго действия до того, как будут стёрты повторяющиеся числа, их будет всего . Значит, чисел вида всего . Но каждое из чисел вида может быть получено лишь одним способом — при перемножении чисел и , поэтому повторяющихся чисел такого вида не будет. Значит, после того, как Максим сотрёт все повторяющиеся числа, на доске останется чисел.

Замечание. На олимпиаде 2021 года баллы за задачу не снимались, если условие понималось так, что после второго действия Максим стирал все числа вида .

Построим плоскость . Для этого найдём точку пересечения прямой с плоскостью . Очевидно, что это будет точка . Значит, сечение куба плоскостью пересекает ребро в точке .

Построим плоскость . Для этого найдём точку пересечения прямой с плоскостью . Прямые и лежат в плоскости , а , значит, пересекает . Обозначим их точку пересечения через , она также лежит в плоскости DOM. Прямая также лежит в плоскости и пересекает ребро в некоторой точке . Заметим, что треугольники и равны, значит, . Треугольники и подобны с коэффициентом 2 , значит, . Пусть - некоторая точка искомого множества и плоскость пересекает ребро в точке . Прямая лежит в плоскости , а значит, точка пересечения прямой с плоскостью лежит на отрезке . Прямая лежит в плоскости , причём она заключена между прямыми и . Поскольку точка лежит в плоскостях и , то она лежит на прямой , а следовательно, внутри треугольника , значит, треугольник — искомое множество.

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q. Предположим, что , тогда в исходной прогрессии точно присутствуют числа . Тогда по свойству арифметической прогрессии имеем

Поскольку все члены геометрической прогрессии различны, то и . Поделим первое уравнение системы на , а второе - на . Получим

Решая первое уравнение системы, как квадратное относительно , получаем

Решая второе уравнение системы, как квадратное относительно , получаем

Из этого следует, что . Если или , то . Полученное уравнение имеет решение только лишь при . Ранее было отмечено, что первые два варианта невозможны.

Если , то или . Но тогда прогрессия имеет либо вид , либо вид , что невозможно по условию.

Если или , то , откуда .

Поскольку и , то уравнение не имеет решений, а значит, .

Но , а , поэтому уравнение также не имеет решений, а значит, . При такая прогрессия существует, например, при .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и с общим углом при вершине . Они подобны, поэтому и . Так как и , то , а значит, треугольники и подобны и .

Последнее равенство означает, что биссектриса угла является также биссектрисой угла . Из точки опустим перпендикуляры и на прямые и соответственно, а также перпендикуляры и на прямые и соответственно. Так как точка лежит на биссектрисе угла , то . Так как — центр вписанной в треугольник окружности, то . Прямые углы и опираются на отрезок , а значит, четырёхугольник вписанный и , как вписанные.

Аналогично доказывается, что . По уже доказанному, , а значит, , из чего следует равенство треугольников и . Отсюда получаем и , а значит, треугольники и равны. Из равенства этих треугольников следует, что , а по свойству отрезков касательных, а значит, , то есть треугольник равнобедренный. Из равнобедренности получаем , откуда и треугольник — равнобедренный.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Точки и могли оказаться на отрезках и . Если они обе эти точки попали на отрезки и , то решение получается аналогичным. Если

же одна точка попала на один из указанных отрезков, а вторая - нет, то центр вписанной в треугольник окружности не будет лежать на биссектрисе угла . За отсутствие доказательства этого факта баллы не снижались.

Докажем, что Первый не сможет поставить на доску более 4 полосок. Рассмотрим 8 закрашенных клеток:

Заметим, что любая полоска покрывает ровно одну закрашенную клетку.

Если Первый сумеет сделать четыре хода, то он покроет какие-то 4 закрашенные клетки. Чтобы не дать Первому сделать пятый ход, Второй каждый свой ход также будет покрывать какую-то серую клетку, а если в какой-то момент Второй не сможет положить полоску ни на какую закрашенную клетку, то и Первый не сможет положить полоску ни на какую закрашенную клетку, и игра закончится раньше. Значит, Второй может помешать Первому сделать 5 и более ходов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что Первый сможет выложить четыре полоски . Рассмотрим первые два хода Первого.

Пусть Первый своим первым ходом положил полоску на место прямоугольника 1:

После этого при любом своём ходе Второй не сможет положить полоску так, чтобы она налегала и на прямоугольник 2 , и на прямоугольник 3 . Значит, Первый своим вторым ходом сможет положить полоску либо на прямоугольник 2 , либо на прямоугольник 3. Без ограничения общности, пусть он смог положить полоску на прямоугольник 2. Затем Второй сделает свой второй ход. Поделим доску на области (a), (б), (в):

и рассмотрим все возможные варианты первых двух ходов Второго.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1) Оба хода были совершены в область (в). Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской область (а). Если после этого Второй своим ходом не задевает область (б), то Первый своим четвёртым ходом накрывает полоской область (б). Если же Второй своим ходом задевает область (б), то внутри области (в) всего две полоски . Каждая полоска пересекает либо два столбца и одну строку, либо две строки и один столбец. Значит, как бы Второй игрок не положил свои полоски в область (в), в ней найдётся хотя бы один столбец или хотя бы одна строка, которые не пересекли полоски. Именно эту строку (столбец) Первый накрывает полоской .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Один из ходов был совершён в область (в), а другой ход задел пересёк область (a), пересёк область (б) или не пересёк ни одну из них. Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской ту область среди (а) или (б), которая не была задета полосками Второго игрока (если они обе не задеты, то Первый кладёт полоску в любую область). После третьего хода Второго в области (в) не может оказать более двух полосок , а значит, как было доказано ранее, Первый сможет положить четвёртую полоску в область (в).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Оба хода не пересекли область (в). Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской область третью сверху строку области (в). Как бы ни после этого не сходил Второй, хотя бы одна из строк области (в) останется нетронутой, и Первый своим четвёртым ходом накроет её полоской .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тем самым мы доказали, что Первый сможет выложить на доску 4 полоски независимо от действий Второго.