НадЭн - задания по годам → .05 НадЭн 2023

Возьмем произвольную пару домов на одной стороне улицы и произвольную пару на другой. Они являются вершинами выпуклого четырехугольника (поскольку две стороны четырехугольника, идущие от каждой выбранной пары, лежат по одну сторону прямой, т.е. углы не превосходят ), следовательно, его диагонали пересекаются.

Каждое попарное пересечение теней (кабелей) является точкой пересечения диагоналей такого четырехугольника. Таким образом, осталось найти их количество, которое равно произведению способов выбрать пару домов на каждой стороне улицы.

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор с координатами и фиксированный вектор с координатами . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора а правая — скалярное произведение векторов и

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при

Подставляя значения, получаем

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку из чисел

Заметим, что не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на (при условии ):

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

Доказательство строгой монотонности: пусть Тогда для любого выполнено:

Строгое монотонное убывание на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Проведём сечение описанной композиции плоскостью, проходящей через центры трех сфер. Искомое расстояние будет длиной отрезка на этой плоскости.

Пусть радиусы малых окружностей равны и Тогда радиус наибольшей (внешней) равен (дано: ). Рассмотрим Его стороны равны и следовательно, он прямоугольный.

Обозначим точку пересечения искомой хорды с отрезком через а с отрезком через Опустим из центра наибольшей окружности перпендикуляр на искомую хорду (отрезок общей касательной). Тогда искомая хорда делится точкой пополам и перпендикулярна отрезкам и

Прямоугольные треугольники подобны. Поэтому , откуда и

Далее, откуда

Рассмотрим отношение чисел

Применим известное неравенство:

Тогда

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Известное неравенство принималось на олимпиаде без док-ва, но любые корректные попытки его обоснования поощрялись. Покажем, как его можно доказать с помощью формулы бинома Ньютона:

Видно, что все скобки вида меньше 1, но при этом больше 0. Значит, если заменим их на 1, то выражение от этого увеличиться.

Последнее неравенство верно, ведь мы просто заменили в числителях все числа, которые больше 2, на 2, тем самым уменьшили знаменатели, следовательно, увеличили значение выражения.

В конце мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.