Тема НадЭн (Надежда энергетики)

НадЭн - задания по годам → .04 НадЭн 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Разделы подтемы НадЭн - задания по годам

НадЭн до 2020

НадЭн 2020

НадЭн 2021

НадЭн 2022

НадЭн 2023

НадЭн 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76460

Энергетические затраты Пончика во время еды пропорциональны корню квадратному из объема съедаемой порции. Что выгоднее для экономии энергетического запаса: съесть свежую кулебяку как одну порцию или разделить ее на две? В какое максимальное количество раз (и в какую сторону) изменятся затраты при разделении кулебяки на две порции?

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Пусть кулебяка делится на порции объёмом $x$ и $cx(c> 0).$ Тогда при съедании всей кулебяки энергетические затраты составят $√ ----- S1 = α x+cx,$ а при разделении на две порции составят $√- √-- S2 =α x+ α cx.$ Требуется исследовать отношение этих величин. Для удобства рассмотрим квадрат их отношения

( S2)2 α2(√x + √cx)2 (1+ √c)2 1+ c+ 2√c- 2 S1 = -α2√x-+cx2--= -1-+c--= ---1+c---= 1+ 1∕√c+-√c

Величина $1∕√c+ √c≥ 2,$ поэтому

(S2)2 =1 +--√-2-√- ≤2 S1 1∕ c+ c

Таким образом, $S2 √- 1< S1 ≤ 2.$

Ответ:

Выгоднее съесть как одну порцию

В $√ - 2$ раз

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76461

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76462

Колхоз имени Лопе де Вега планирует построить на своих землях два одинаковых прямоугольных в плане розария и квадратный в плане свинарник. Сумма периметров розариев должна быть больше периметра свинарника на 16 м, а суммарная площадь розариев превышать площадь свинарника на 16 кв. м. Если такой план может быть реализован, то найдите длины сторон всех строений. Если план нереален, то объясните почему.

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим стороны прямоугольников через $x$ и $y,$ сторону квадрата через $a$ и составим систему уравнений

{ 2(2x+ 2y)− 4a= 16 { x+ y− a= 4 2xy − a2 = 16 ⇔ 2xy− a2 = 16

Выразим из первого уравнения $x =4 +a− y$ и подставим во второе

2(4+a − y)y− a2 =16

−2y2+2(a+ 4)y− a2− 16

Это квадратное относительно $y$ уравнение. Оно имеет решение, если его дискриминант неотрицателен. Дискриминант (без учета множителя 2) равен

(a+ 4)2 − 2a2− 32 =a2+ 8a+ 16 − 2a2− 32=− (a − 4)2

Отсюда сразу получаем, что $a =4$ и для поиска сторон прямоугольника систему

{ x+ y = 8 2xy =32

имеющую единственное решение $x =y =4.$

Ответ:

Все помещения — квадраты со стороной 4 ед. длины.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76463

На каждой из сторон параллелограмма выбрано по произвольной точке. Точки на соседних сторонах параллелограмма соединены отрезками прямых. В результате от параллелограмма оказываются отсеченными четыре треугольника. Вокруг каждого из этих треугольников описана окружность. Докажите, что центры этих окружностей являются вершинами некоторого параллелограмма.

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.4 (см. www.energy-hope.ru)

Показать доказательство

Изобразим окружности и их центры, которые обозначим $O ,...,O . 1 4$ Рассмотрим векторы $O O ,O O 1 2 4 3$ и $O O ,O O . 1 4 2 3$

$PIC$

Поскольку центры описанных окружностей лежат на пересечении серединных перпендикуляров, проекции указанных векторов на стороны исходного параллелограмма будут равны половине этих сторон.

Таким образом, если ввести две оси: одну параллельно стороне $AB,$ а другую параллельно стороне $AD,$ то каждая пара рассматриваемых векторов будет иметь одинаковые проекции на каждую из введенных осей. Отсюда следует попарное равенство самих векторов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#76464

Охотник Пулька для своей собаки Бульки заказал на АлиЭкспресс три куля собачьего корма. Наутро после доставки один куль оказался съеден. Под подозрение попали четверо, и Незнайке удалось установить следующее.

(1) Если алиби Пончика истинно, то Сиропчик также имеет алиби.

(2) Если Пончик ел корм, то либо Сиропчик, либо Авоська тоже ел корм (либо оба вместе).

(3) Из двух показаний: «Авоська ел корм», «Пончик не ел, но при этом ел Небоська» - хотя бы одно истинное.

(4) Если Небоська ел корм, то также ел либо Авоська, либо Сиропчик (либо оба вместе).

Кого из подозреваемых Незнайка может гарантированно обвинить в поедании за ночь целого куля собачьего корма?

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с (3). Пусть Авоська не ел корм. Тогда Пончик не ел, а Небоська ел. Из (4) получаем, что либо Авоська ел, либо Сиропчик. При сделанном предположении это означает, что ел Сиропчик. Но из (1) следует, что Сиропчик не ел корм, т.к. Пончик не ел. Получено противоречие. Следовательно, Авоська виновен (корм ел).

Рассмотреть все варианты для трех оставшихся подозреваемых,


	Авоська	Небоська	Пончик	Сиропчик

1	ел	ел	ел	ел

2	ел	ел	ел	нет

3	ел	ел	нет	ел	невозможно в силу (1)

4	ел	ел	нет	нет

5	ел	нет	ел	ел

6	ел	нет	ел	нет

7	ел	нет	нет	ел	невозможно в силу (1)

8	ел	нет	нет	нет

Видно, что каждый из подозреваемых мог как есть, так и не есть корм.

Ответ: Авоська

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#96175

Верно ли, что среди любых $2022$ целых чисел можно выбрать два, разность которых кратна $2021?$

Источники: Надежда энергетики, отборочный этап, 2022, 8.3

Показать ответ и решение

При делении на $2021$ может возникать $2021$ различных остатков(от $0$ до $2020).$ Поскольку чисел $2022,$ то есть на одно больше возможного, то хотя бы два из них имеют равные остатки. Следовательно, их разность делится на $2021.$

Ответ:

Верно

Предыдущая подтема

Следующая подтема