Звезда - задания по годам → .07 Звезда 2025

Подсказка 1

Для начала посмотрим на выражения в обеих частях, а также на коэффициенты при них. Вообще, можно заметить, что они имеют похожий вид, в частности, можно поменять местами выражения с модулями (левое перенести в правую часть, правое - в левую, не забыв поменять знаки). Что тогда можно сказать о выражениях в обеих частях? Чем они похожи, как можно обобщить?

Подсказка 2

Видно, что обе части можно выразить через функцию от переменных sqrt(2 - log₂x) и log₂x. Тогда у нас получится неравенство для значений функции при разных аргументах. Что можно сказать о самой функции?

Подсказка 3

Нетрудно доказать, что функция монотонна и возрастающая, поэтому неравенство на значениях равносильно неравенству на аргументах. Оно уже решается гораздо легче, главное — не забыть про ограничения!

Подсказка 1

Для нахождения ответа хотим узнать, сколько всего вариантов раскраски и сколько из них удовлетворяет условиям. Чтобы посчитать количество всех вариантов, учтем, что каждую из 8*12 клеток можно покрасить в любой из трех цветов. Как посчитать количество удовлетворяющих вариантов? Какую конструкцию здесь можно применить?

Подсказка 2

Попробуем объединить какие-то два цвета в один, например, чёрный и белый. Какие тогда возникают условия на взаимное расположение клеток нового цвета и серого?

Подсказка 3

Понятно, что клетки нового цвета не могут находиться рядом (иначе получаются либо одноцветные соседи, либо соседи вида белый-черный). Аналогичное можно сказать и про серые клетки. Какой вывод тогда можно сделать для количества вариантов такой двухцветной раскраски?

Подсказка 4

Тогда нам подходят только шахматные раскраски, их на данном поле будет две. Теперь обратно разобьем наш новый цвет на белый и чёрный. Логично, что все условия для соседей уже были соблюдены, поэтому любая клетка нового цвета может быть и белой, и чёрной. Тогда нам необходимо только посчитать количество этих клеток новых цветов в каждой из шахматных раскрасок (на обоих вариантах их одинаковое количество) и учесть, что для каждой из таких клеток вариантов выбора цвета 2. Ответ далее находится по стандартной формуле для вычисления вероятности по благоприятным и всем исходам.

Подсказка 1

Хотим получить оценку снизу. Воспользуемся условием неотрицательности функции, а также тем, что она представлена квадратным уравнением. Какие условия из этого можем получить?

Подсказка 2

Отсюда возникают условия на дискриминант (меньше либо равен 0), а также на положительность коэффициента при старшей степени. Отсюда легче всего получить оценку снизу именно для b (для a тоже можно, но выражение будет неприятнее).

Подсказка 3

Теперь в искомом выражении заменим b на нашу оценку снизу. Однако можно заметить, что у нас все ещё остаются слагаемые с a. попробуем их тоже как-то оценить снизу. Как можно аккуратно это сделать?

Подсказка 4

На данном этапе у нас есть дробь, в числителе и знаменателе которой есть слагаемые с a. Хотим оценить её снизу. Обратим внимание на то, что (если не было совершено арифметических ошибок), в числителе дроби выражение имеет вид xa² + 1. Тогда знаем, что можно оценить его снизу как xa² + 1 ≥ √(xa²). Это возможно как раз из-за того, что для любых xa² ≥ 1 выполняется даже xa² ≥ √(xa²), а в случае xa² < 1 имеем, что и √(xa²) < 1, поэтому 1 + xa² > √(xa²). После такой оценки выражение уже не зависит от а и имеет точное значение. Оно и будет наименьшим.

Подсказка 1

Для начала представим разрезы на единичные кубики проведением различных плоскостей, параллельные граням параллелепипеда. Теперь подумаем о количестве плоскостей, параллельных каждой из граней, и ответим на вопрос: может ли игла прокалывать две плоскости (не параллельных) в одной точке?

Подсказка 2

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что игла прокалывает параллелепипед по его диагонали, то есть проекция иглы на третью плоскость (оставшуюся помимо двух рассматриваемых, возьмём именно грань, параллельно которой и построены все плоскости такого вида) будет представлять из себя диагональ грани. При этом сама точка прокола этих двух плоскостей на проекции будет иметь целочисленные координаты (так как плоскости разрезают параллелепипед по единичным кубикам). Какие выводы можно из этого сделать?

Подсказка 3

Заметим, что, какую бы грань ни взяли, прямоугольный треугольник, представленный двумя её сторонами и диагональю, будет иметь катеты со взаимно простыми длинами. Из этого получаем, что точка с целочисленными координатами на гипотенузе лежать не может (исключая вершины треугольника). Получили противоречие, получается, что игла прокалывает каждую из плоскостей единожды и в разных точках. Перенесём эти рассуждения на грани кубиков, и теперь количество прокалываемых легко находится.