Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Звезда - задания по годам → .07 Звезда 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Разделы подтемы Звезда - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125073Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ ------- ||∘ ------- || 9 2− log2 x− 2 |4log2x− 7|≤9 log2x− 2|4 2− log2 x− 7|

Источники: Звезда - 2025, 11.1 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала посмотрим на выражения в обеих частях, а также на коэффициенты при них. Вообще, можно заметить, что они имеют похожий вид, в частности, можно поменять местами выражения с модулями (левое перенести в правую часть, правое - в левую, не забыв поменять знаки). Что тогда можно сказать о выражениях в обеих частях? Чем они похожи, как можно обобщить?

Подсказка 2

Видно, что обе части можно выразить через функцию от переменных sqrt(2 - log₂x) и log₂x. Тогда у нас получится неравенство для значений функции при разных аргументах. Что можно сказать о самой функции?

Подсказка 3

Нетрудно доказать, что функция монотонна и возрастающая, поэтому неравенство на значениях равносильно неравенству на аргументах. Оно уже решается гораздо легче, главное — не забыть про ограничения!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

∘ ------- ∘------- 9 2− log2x+ 2|4 2 − log2x − 7|≤ 9log2x+ 2|4log2x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

∘------- f( 2− log2x)≤ f(log2x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля угловой коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘2-−-log-x≤ log x 2 2

Для решения полученного неравенства выпишем систему

(|{ 2− log2 x≥ 0 log2x≥ 0 |( 2− log2 x≤ log22x

В последнем неравенстве сделаем замену $z = log2x,$ получим

z2+ z− 2≥ 0

(z− 1)(z+2)≥ 0

z ∈ (− ∞,−2]∪[1,+ ∞)

Учитывая первые два неравенства из системы, получаем, что $log x∈[1;2]. 2$ Отсюда $x∈ [2;4].$

Ответ:

$[2;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125074Максимум баллов за задание: 7

Петя раскрашивает клетчатый прямоугольник размером $8× 12.$ У него 3 краски: белая, серая, черная. Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании клеток, он раскрасит прямоугольник так, что соседние клетки в нём будут разного цвета, но при этом не будет резкой смены цвета, то есть белая и чёрная клетки не будут соседними. (Клетки — соседние, если у них есть общая сторона).

Источники: Звезда - 2025, 11.2 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для нахождения ответа хотим узнать, сколько всего вариантов раскраски и сколько из них удовлетворяет условиям. Чтобы посчитать количество всех вариантов, учтем, что каждую из 8*12 клеток можно покрасить в любой из трех цветов. Как посчитать количество удовлетворяющих вариантов? Какую конструкцию здесь можно применить?

Подсказка 2

Попробуем объединить какие-то два цвета в один, например, чёрный и белый. Какие тогда возникают условия на взаимное расположение клеток нового цвета и серого?

Подсказка 3

Понятно, что клетки нового цвета не могут находиться рядом (иначе получаются либо одноцветные соседи, либо соседи вида белый-черный). Аналогичное можно сказать и про серые клетки. Какой вывод тогда можно сделать для количества вариантов такой двухцветной раскраски?

Подсказка 4

Тогда нам подходят только шахматные раскраски, их на данном поле будет две. Теперь обратно разобьем наш новый цвет на белый и чёрный. Логично, что все условия для соседей уже были соблюдены, поэтому любая клетка нового цвета может быть и белой, и чёрной. Тогда нам необходимо только посчитать количество этих клеток новых цветов в каждой из шахматных раскрасок (на обоих вариантах их одинаковое количество) и учесть, что для каждой из таких клеток вариантов выбора цвета 2. Ответ далее находится по стандартной формуле для вычисления вероятности по благоприятным и всем исходам.

Показать ответ и решение

Применим формулу классической вероятности $p= m, n$ где где общее число возможных исходов $n= 396,$ так как всего в прямоугольнике $96$ клеток, и каждую клетку можно окрасить в $3$ цвета. Найдём количество благоприятных исходов — $m.$ Для этого перекрасим временно белый и чёрный цвета в красный. Раскрасим данный прямоугольник в красно-серые цвета так, чтобы соседние клетки имели разный цвет (шахматная раскраска). Таких раскрасок будет ровно две.

Теперь осталось для каждой из $48$ красных клеток выбрать произвольно один из двух цветов — белый или чёрный. Таких раскрасок будет $48 2 ,$ а всего $49 m = 2 .$ В итоге ответ равен $249 396.$

Ответ:

$249 396$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125075Максимум баллов за задание: 7

Известно, что функция $f(x)=ax2+ (a+1)x+ b$ принимает неотрицательные значения для всех $x$ . Найдите наименьшее значение выражения $2a+$ $b+1.$

Источники: Звезда - 2025, 11.3 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим получить оценку снизу. Воспользуемся условием неотрицательности функции, а также тем, что она представлена квадратным уравнением. Какие условия из этого можем получить?

Подсказка 2

Отсюда возникают условия на дискриминант (меньше либо равен 0), а также на положительность коэффициента при старшей степени. Отсюда легче всего получить оценку снизу именно для b (для a тоже можно, но выражение будет неприятнее).

Подсказка 3

Теперь в искомом выражении заменим b на нашу оценку снизу. Однако можно заметить, что у нас все ещё остаются слагаемые с a. попробуем их тоже как-то оценить снизу. Как можно аккуратно это сделать?

Подсказка 4

На данном этапе у нас есть дробь, в числителе и знаменателе которой есть слагаемые с a. Хотим оценить её снизу. Обратим внимание на то, что (если не было совершено арифметических ошибок), в числителе дроби выражение имеет вид xa² + 1. Тогда знаем, что можно оценить его снизу как xa² + 1 ≥ √(xa²). Это возможно как раз из-за того, что для любых xa² ≥ 1 выполняется даже xa² ≥ √(xa²), а в случае xa² < 1 имеем, что и √(xa²) < 1, поэтому 1 + xa² > √(xa²). После такой оценки выражение уже не зависит от а и имеет точное значение. Оно и будет наименьшим.

Показать ответ и решение

Так как $f(x)$ принимает неотрицательные значения для всех $x,$ то $(a+ 1)2 ≤4ab$ и $a >0.$ Получаем

(a+1)2 b≥ 4a

Построим оценку:

(a +1)2 8a2+(a+ 1)2+ 4a 9a2+ 6a+1 2a+b+ 1≥ 2a+ --4a--+ 1= ------4a------= ----4a--- =

√--- = 3+ 9a2+1-≥ 3+ -9a2 =3 2 4a 2 2a

Причём равенство достигается при $a = 1, 3$ $b= 4. 3$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125076Максимум баллов за задание: 7

Прямоугольный параллелепипед размером $6× 7×11,$ разбитый на единичные кубики, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков проткнула игла?

Источники: Звезда - 2025, 11.4 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала представим разрезы на единичные кубики проведением различных плоскостей, параллельные граням параллелепипеда. Теперь подумаем о количестве плоскостей, параллельных каждой из граней, и ответим на вопрос: может ли игла прокалывать две плоскости (не параллельных) в одной точке?

Подсказка 2

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что игла прокалывает параллелепипед по его диагонали, то есть проекция иглы на третью плоскость (оставшуюся помимо двух рассматриваемых, возьмём именно грань, параллельно которой и построены все плоскости такого вида) будет представлять из себя диагональ грани. При этом сама точка прокола этих двух плоскостей на проекции будет иметь целочисленные координаты (так как плоскости разрезают параллелепипед по единичным кубикам). Какие выводы можно из этого сделать?

Подсказка 3

Заметим, что, какую бы грань ни взяли, прямоугольный треугольник, представленный двумя её сторонами и диагональю, будет иметь катеты со взаимно простыми длинами. Из этого получаем, что точка с целочисленными координатами на гипотенузе лежать не может (исключая вершины треугольника). Получили противоречие, получается, что игла прокалывает каждую из плоскостей единожды и в разных точках. Перенесём эти рассуждения на грани кубиков, и теперь количество прокалываемых легко находится.

Показать ответ и решение

Параллелепипед разрезан на единичные кубики плоскостями трёх семейств, в каждое из которых входят все плоскости, параллельные какой-то грани. Количество этих плоскостей — 5, 6 и 10 соответственно. Заметим, что игла не прокалывает две плоскости из разных семейств в одной точке, пусть в $M.$ Действительно, в таком случае проекция иглы на грань $α$ третьего семейства была бы её диагональю, на которой есть целочисленная точка $P$ — проекция точки $M$ на $α.$ Но очевидно, что если целочисленная точка лежит на диагонали целочисленного прямоугольника внутри его, то стороны прямоугольника не взаимно просты. Итак, игла прокалывает 5, 6 и 11 плоскостей в разных точках, поэтому на игле

5+ 6+ 10 =21

следов её пересечения с гранями кубиков, поэтому количество прокалываемых кубиков равно

21+ 1= 22

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#128579Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ----- √ ----- 9 8− 7x − 2|4x − 7|≤ 9x − 2|4 8− 7x − 7|

Источники: Звезда - 2025, 10.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на неравенство, его правая и левая части очень похожи. Не удастся ли записать неравенство в несколько ином виде – через одну и ту же функцию разных аргументов?

Подсказка 2

Пусть f(t) = 9t + 2|4t - 7|, тогда неравенство имеет вид f(a) ≤ f(b), а что мы можем сказать про нашу функцию? Нельзя ли как-то перейти к сравнению аргументов?

Подсказка 3

Данная функция монотонна! А значит, неравенство равносильно а ≤ b) Ну теперь остается решить полученное неравенство с корнем, не забудьте при этом рассмотреть случаи с х < 0 и х ≥ 0, а также учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство так:

√ ----- √ ----- 9 8− 7x +2|4 8− 7x− 7|≤ 9x +2|4x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

√ ----- f( 8− 7x)≤ f(x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля старший коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

√8-− 7x≤ x

Для решения полученного неравенства выпишем систему

( |||8− 7x≥ 0 {x≥ 0 |||( 2 8− 7x≤ x

Получаем

[ ] x∈ 1;8 7

Ответ:

$[1;8] 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128580Максимум баллов за задание: 7

О треугольнике $ABC$ известно, что длины сторон $AB,BC,AC$ и диаметр вписанной окружности являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите периметр треугольника, если диаметр вписанной окружности равен 6.

Источники: Звезда - 2025, 10.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем, что диаметр всегда меньше сторон треугольника, так что члены прогрессии можно обозначить за 6, 6 + d, 6 + 2d и 6 + 3d. Нам известен радиус вписанной окружности, мы хотим узнать периметр треугольника, есть ли какие-то формулы, которые связывают эти величины?

Подсказка 2

Есть формула площади S = pr! Но ведь одной формулы недостаточно, надо тогда как-то иначе выразить площадь через d, чтобы мы смогли найти его из полученного уравнения. Какую еще формулу площади можно использовать?

Подсказка 3

Формулу Герона! Теперь у нас есть уравнение, из которого мы сможем найти d, а значит, сможем определить и периметр)

Показать ответ и решение

$PIC$

В любом треугольнике диаметр вписанной окружности меньше каждой из сторон треугольника. Пусть $6,$ $AB,$ $BC,$ $AC$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью $d>0,$ тогда стороны треугольника равны

AB = 6+d, BC =6+ 2d, AC = 6+3d

Тогда полупериметр треугольника $p$ равен

18+ 6d p= --2---= 9+3d

Приравняем две формулы для площади треугольника: через радиус вписанной окружности и формулу Герона.

∘---------------- S = pr и S = p(p− a)(p− b)(p − c)

∘ ---------------- pr= p(p− a)(p− b)(p− c)

Подставив значения и возведя в квадрат получим,

2 (27+9d) = 3(9+ 3d)(3+ d)(3+2d)

Так как $27+ 9d=3(9+ 3d),$ перепишем левую часть:

2 9(9+3d) = 3(9+ 3d)(3+ d)(3+2d)

Поскольку $d> 0$ , то $9+ 3d⁄= 0,$ и мы можем разделить обе части на $3(9+3d):$

3(9+ 3d)= (3+ d)(3+ 2d)

Преобразуем:

27 +9d= 9+ 6d+3d+ 2d2

2 9= d

d= 3

В итоге периметр треугольника равен

P =18+ 6d= 18+6 ⋅3 =36

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#128581Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 1 ||||| a+ b =1 ||||| b+ 1 =4 { c , |||| c+ 1 =1 ||||| d ||( d+ 1 =4 a

если $a >0,b> 0,c> 0,d> 0$ .

Источники: Звезда - 2025, 10.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уравнения с 4 переменными и обратными к ним, а давайте все перемножим!

Подсказка 2

Система большая, целых 4 уравнения, было бы неудобно как-то их складывать или вычитать. Может, подумаем в сторону неравенств?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством о средних.

Подсказка 4

Все неравенства обернулись в равенства. Когда такое может быть?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Используем неравенство о средних:

1 ∘ a- 1 ∘ b- 1 ∘c- 1 ∘ d- a+ b ≥2⋅ b, b+ c ≥2 ⋅ c, c+d ≥ 2⋅ d, d+ a ≥ 2⋅ a

Перемножим неравенства:

( ) ( ) ( ) ( ) a + 1 ⋅ b+ 1 ⋅ c + 1 ⋅ d+ 1 ≥24 = 16 b c d a

Из условия, произведение левых частей исходной системы равно $1 ⋅4 ⋅1 ⋅4 =16,$ следовательно, все неравенства превращаются в равенства:

1 1 1 1 a= b, b= c, c= d, d = a

Тогда, после подстановки в изначальную систему, получаем

1 1 a= 2, b= 2, c= 2, d=2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Вычтем из первого уравнение третье, а из второго четвертое.

( ||{ a− c+ 1− 1= 0 | 1b d1 |( b− d +-c − a = 0

( ||{a− c+ d−-b= 0 | abd− c |(b− d+ -ac-= 0

Из второго уравнения системы выразим

d− b = a− c ac

Подставим в первое:

a− c+ a−-c= 0 abcd

( ) (a− c) 1 +--1- = 0 abcd

Так как $a,b,c,d >0,$ то произведение $abcd$ не может быть равно $− 1.$ Следовательно, $a− c =0,$ то есть $a= c.$ Тогда и $d− b= 0,$ то есть $d= b.$ Получаем систему:

(|| a+ 1= 1 { b ||( b+ 1= 4 a

(||a = b− 1 { b ||(b +--b- =4 b− 1

Решая второе уравнение:

b(b− 1)+ b= 4(b− 1)

b2− 4b+ 4= 0

(b− 2)2 = 0

Следовательно,

1 1 b= 2, d= 2, a= 2, c= 2

Ответ:

$a = 1 ,b= 2,c= 1,d =2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128582Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее количество квадратиков $2× 2$ можно поместить, располагая стороны квадратиков по линиям сетки, в клеточный прямоугольник $25×27,$ если любым двум квадратикам можно иметь либо одну общую клеточку, либо ни одной?

Источники: Звезда - 2025, 10.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как могут пересекаться квадратики?

Подсказка 2

Могут ли, например, 3 квадрата иметь общую клетку?

Подсказка 3

Нет, иначе бы какие-то два из них пересеклись по 2 клеткам, что противоречит условию.

Подсказка 4

Попробуйте, отталкиваясь от этого, придумать раскраску.

Подсказка 5

Пусть клетки пронумерованы по строкам и столбцам, начиная с 1. Что, если закрасить все клетки, у которых номер строки и номер столбца — четные?

Показать ответ и решение

Для любой клетки существует не более чем два квадрата $2×2,$ пересекающихся только по этой клеточке, так как если взять хотя бы 3 квадрата, содержащих общую клетку, то какие-то два из них будут пересекаться по двум клеткам.

Закрасим клетки во втором, четвертом, шестом и так далее горизонтальном ряду, например, снизу вверх, причем закрашиваем в каждом ряду вторую, четвертую, шестую и так далее клеточки, например, слева направо (см. рис.). Закрашенных клеточек получится $12⋅13= 156.$

$PIC$

Очевидно, что любой квадрат $2× 2,$ помещенный в данный прямоугольник, содержит ровно одну закрашенную клеточку. На неё может быть наложено, как было замечено, не более двух квадратов $2× 2,$ поэтому всего, по данным правилам, квадратов можно поместить не более $312.$

Пример. Укладываем у стороны длиной $25$ вплотную друг к другу слева направо ряд из $12$ квадратов; следующий ряд из $12$ квадратов выкладываем со сдвигом на $1$ клетку вверх и вправо, следующий ряд — со сдвигом вверх и влево, и так далее (см. рис.).

$PIC$

Ответ:

312

Предыдущая подтема