Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.06 Правильная и прямоугольная пирамиды

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#47857Максимум баллов за задание: 1

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ боковое ребро $SC$ равно 37, сторона основания равна $√ - 35 2.$ Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $√ - 35 2.$ Найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$

AC =∘AB2--+-BC2-= √2-⋅AB2 = √----2-- = 2⋅35 ⋅2 =35 ⋅2 = 70

Основание высоты пирамиды $O$ будет лежать на точке пересечения диагоналей квадрата $ABCD,$ то есть будет делить диагонали пополам. Тогда

1 1 CO = 2AC = 2 ⋅70 =35

$PIC$

Треугольник $SOC$ — прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды, значит, она перпендикулярна основанию, тогда она перпендикулярна и прямой $AC.$ По теореме Пифагора найдем высоту $SO$

∘---------- ∘ -------- SO = SC2 − OC2 = 372− 352 = = ∘ (37−-35)(37+-35)= √2⋅72 = √------- = 2⋅2⋅36 =2 ⋅6= 12

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле

1 1 2 VSABCD = 3 ⋅SO ⋅SABCD = 3 ⋅SO ⋅AB = = 1 ⋅12 ⋅352 ⋅2 = 9800 3

Ответ: 9800

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#57726Максимум баллов за задание: 1

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO = 48,$ $SC = 80.$ Найдите длину отрезка $BD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то $SO$ — высота пирамиды. Следовательно, $△SOC$ прямоугольный, значит, по теореме Пифагора

∘ ---2----2 ∘ --2----2 OC = SC − SO = 80 − 48 = 64.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, следовательно, его диагонали равны, причем точкой $O$ делятся пополам, значит,

BD = AC = 2OC = 128.

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#57727Максимум баллов за задание: 1

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ боковое ребро $SC$ равно 17, сторона основания равна $√- 15 2.$ Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD.$ Тогда $SO$ — высота пирамиды. Следовательно, $△SOC$ — прямоугольный. Так как $√ - √- √ - AC = AB 2= 15 2⋅ 2= 30,$ а $1 OC = 2AC = 15,$ то по теореме Пифагора

∘---------- ∘ -------- SO = SC2 − OC2 = 172 − 152 = 8.

Следовательно, объем пирамиды равен

1 1 ( √-)2 V = 3 ⋅SO ⋅AB2 = 3 ⋅8⋅ 15 2 = 1200.

Ответ: 1200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#39628Максимум баллов за задание: 1

Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен 7. Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.

Показать ответ и решение

Пусть $SABCD$ и $SA′B′C′D′$ — пирамиды из условия. Четырехугольник $A ′B ′C′D′$ представляет собой квадрат, так как стороны $A ′B′C′D′$ параллельны диагоналям квадрата $ABCD$ и равны половинам длин диагоналей этого квадрата. Следовательно, если $AB = a,$ то $√- A′B′ = a22.$ Тогда

( √-) ′′ ′′ 1 a-2-2 1 2 VSA B CD = 3 ⋅SH ⋅ 2 = 3 ⋅SH ⋅0,5a =0,5VSABCD = 3,5

$PIC$

Ответ: 3,5