Тема Графики функций

04 Прямая

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123000

Как называется график линейной функции?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Графиком линейной функции $y = kx+ b$ всегда является прямая.

Ответ: Прямая

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123001

Что означает коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx+ b$ ?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к оси $x$ .

Ответ: Угловой коэффициент (наклон)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123002

Если $k >0,$ как направлена прямая?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

При $k> 0$ прямая возрастает, при $k< 0$ — убывает.

Ответ: Возрастает

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123255

Если $k =0,$ как выглядит график функции?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

При $k= 0$ уравнение принимает вид $y = b$ — прямая, параллельная оси $x$ .

Ответ: Горизонтальная прямая

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123257

Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон ( $k = k 1 2$ ).

Ответ: Равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#123258

Даны две прямые: $y = 4x +1$ и $y = 4x − 3.$ Каково их взаимное расположение?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Угловые коэффициенты равны ( $k =k =4, 1 2$ ) но $b⁄= b . 1 2$ То есть прямые параллельны.

Ответ: Параллельны

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123260

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки $(1,2)$ и $(3,8).$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Способ $1.$

$1)$ Наклон $8−2 k= 3−1 = 3.$
$2)$ Подставляем $k$ и точку $(1,2)$ в уравнение: $2 =3 ⋅1 +b⇒ b =−1.$

Способ $2.$

Уравнение прямой имеет вид: $y =kx+ .b$

1.

Прямая, проходящая через точку $(1,2)$ имеет вид:

2= k⋅1+ b

2.

Прямая, проходящая через точку $(3,8)$ имеет вид:

8= 3k+b

3.

Так как это одна и та же прямая, проходящая через обе точки, то запишем систему уравнений:

({ k+b =2 ( 3k +b= 8

4.

Решаем систему методом вычитания:

$pict$

5.

Подставляем $k= 3$ в первое уравнение:

$pict$

Ответ: y = 3x - 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#123262

Дана прямая $y = − 1x+ 3 2$ . Какая прямая ей перпендикулярна?
А) $1 y = 2x+ 1$
Б) $y = −2x+ 4$
В) $y = 2x − 5$
Г) $1 y =− 2x$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Условие перпендикулярности: $k ⋅k = −1. 1 2$ Здесь $− 1⋅2= −1. 2$

Ответ: В)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#123264

На рисунке изображена прямая, проходящая через точки A и B. Найдите её уравнение.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$1)$ Наклон $k = -4−-0-= 2. 0−(−2)$
$2)$ Пересечение с осью $y$ : $(0,4)⇒ b= 4.$

Ответ: y = 2x + 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123265

На рисунке прямая параллельна оси $x$ и проходит через точку $(3,−2).$ Запишите её уравнение.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Горизонтальная прямая имеет вид $y = b.$ Здесь $b=− 2.$

Ответ: y = -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#132240

Постройте график функции:

y = 2x− 3

y =− 0.5x+ 1

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.

Для $y = 2x− 3$ :

Найдём точку пересечения с осью $Oy$ : при $x =0$ , $y = −3$ → $A(0;− 3)$
Вторая точка: при $x =2$ , $y = 1$ → $B(2;1)$
Строим прямую через эти точки:

$PIC$

2.

Для $y = −0.5x+ 1$ :

Точка пересечения с $Oy$ : $A(0;1)$
Вторая точка: при $x =2$ , $y = 0$ → $(2;0)$

$PIC$

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#132244

График функции $y = kx$ проходит через точку $A(2;− 6).$ Найдите $k.$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Подставляем координаты точки в уравнение: $− 6= k⋅2⇒ k= −3$

Ответ:

$k =− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#132245

Прямая $y = kx +b$ проходит через точки $(0;4)$ и $(2;0).$ Найдите $k$ и $b.$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.: Подставляем первую точку $(0;4):$ $4 =k ⋅0 +b⇒ b =4$
2.: Подставляем вторую точку $(2;0)$ при $b= 4:$ $0= k⋅2+ 4⇒ 2k= −4⇒ k = −2$

Ответ:

$y =− 2x +4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#132248

Найдите уравнение прямой, параллельной $y =2x− 3$ и проходящей через точку $(1;5).$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Исходная прямая имеет $k =2 1$

У параллельной прямой $k2 = k1 = 2$ (по условию параллельности)

Общий вид искомой прямой: $y = 2x +b$

Подставляем координаты точки $(1;5):$

5= 2⋅1+ b⇒ b= 3

Ответ:

$y =2x+ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#132252

При каком $p$ прямые $y = 3x +1$ и $y = (p− 2)x− 5$ параллельны?

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Условие параллельности: $p− 2 =3 ⇒ p= 5$

Ответ:

$p =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#132257

Даны прямые:

$pict$

Найдите все значения $a,$ при которых эти прямые:

а) Параллельны

б) Перпендикулярны

Источники: ЕГЭ-2024, банк задач ФИПИ (см. fipi.ru)

Показать ответ и решение

1.

Для параллельности:

a− 1 =2a+ 3⇒ a =− 4

Проверка на совпадение:

При $a= −4$ :

1-я прямая: $y = −5x+ 2$
2-я прямая: $y = −5x− 5$

Разные $b$ $⇒$ параллельны, но не совпадают

2.

Для перпендикулярности:

(a− 1)(2a +3)= −1

2a2+ a− 3= −1

2a2+a − 2= 0

D= 1+ 16= 17

√-- a = −-1±4-17

Ответ:

a) a= −4

−1±-√17- б) 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#132259

Найдите точку пересечения $y = 1x+3 2$ и $y =− 3x+ 5. 4$

Источники: Олимпиада “Физтех” (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: (1,6; 3,8)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#132264

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки $A (1;2)$ и $B (3;8).$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Подставим первую точку в уравнение прямой $y = kx+ b:$

2= k+ b⇒ b= 2− k

Подставим вторую точку:

8= 3k+b

8 =3k+ 2− k

6= 2k

k= 3⇒ b= −1

Тогда уравнение прямой:

y = 3x− 1

Ответ: y = 3x - 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#132265

Найти точку пересечения $y = 2x− 5$ и $y =− x+ 7.$

Источники: Дорофеев Г.В. Алгебра 7 класс (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Приравняем уравнения прямых

$pict$

Ответ: (4;3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#132266

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной $y = − 1x +2 3$ и проходящей через $(0;4).$

Источники: Сборник олимпиадных задач (2021) (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Исходная прямая имеет $k =− 1 1 3$

У перпендикулярной прямой:

1 1 k2 = − k1-= −−-1= 3 3

Общий вид искомой прямой: $y = 3x +b$

Подставляем $(0;4):$

4= 3⋅0+ b⇒ b= 4

Ответ: