Тема Текстовые задачи

08 Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#136920

Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби $25 32$ , чтобы получить дробь, равную $56?$

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть искомое число – $x.$

Тогда $25+ x$ – новый знаменатель, а $32 +x$ – новый числитель.

Значит:

25+ x 5 32+-x = 6.

( { 25+x = 5y, ( 32+x = 6y;

Вычтем из второго уравнения первое:

y =7;

Подставим в первое, получим:

25+ x= 35;

x= 10.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#136922

Моторная лодка проплыла $8$ км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь $54$ мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна $18$ км/ч.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки – $x$ км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки – $18+x,$ а против течения - $18− x.$

Значит $-8-- 18+x$ – время, которое лодка плыла по течению, а $-8-- 18−x$ – время, которое лодка плыла против течения, тогда, зная, что 54 мин – $9- 10$ ч:

8 8 9 18+-x +18−-x =10.

10⋅8(18− x)+-10⋅8(18+-x)− 9(18-− x)(18+-x)= 0 10(18 − x)(18+ x)

---x2− 4- = 0 10(x2− 324)

({ 2 x = 4, (10(x2− 324) ⁄=0;

( |||{x= 2, x= −2 |||( 2 10(x − 324) ⁄=0.

Последний корень не имеет смысла. Подставим первый в знаменатель, убедимся, что он не делает его равным нулю. Сделаем вывод: скорость течения реки – $2$ км/ч.

Ответ: 2 км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#136924

Теплоход прошёл $28$ км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на $4$ мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна $1$ км/ч.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в стоячей воде – $x$ км/ч.

Тогда скорость теплохода по течению реки – $x+ 1,$ а против течения – $x − 1.$

Значит $28- x−1$ – время, которое теплоход плыл по течению, а $-28 x+1$ – время, которое теплоход плылы против течения, тогда, зная, что 4 мин – $-1 15$ ч:

28 28 1 x−-1 −x-+1 = 15-.

15-⋅28(x+-1)+-15⋅28(x−-1)− (x+-1)(x−-1)= 0 15(x − 1)(x +1)

-841− x2-= 0 15(x2 − 1)

({ 2 x = 841, ( 15(x2− 1)⁄=0;

( ||||x= 29, ||{x= −29, || ||||(x⁄= 1, x⁄= −1.

Последний корень не имеет смысла. Сделаем вывод: скорость теплохода – $29$ км/ч.

Ответ: 29 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#136926

Лодка прошла $6$ км против течения реки и $12$ км по течению, потратив на весь путь $2$ ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $3$ км/ч.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки – $x.$ Тогда скорость лодки по течению – $x+ 3.$ А скорость против течения – $x− 3.$

Тогда время, которое лодка плыла по течению – $12- x+3$ , а время, которое она плыла против течения – $6-- x−3$ .

Тогда имеет место уравнение:

12 6 x+-3 + x−-3 = 2;

-12- + -6--− 2 =0; x +3 x− 3

--12(x−-3)- +--6(x+-3)- − 2(x+-3)(x−-3)= 0; (x+ 3)(x− 3) (x− 3)(x+ 3) (x− 3)(x+ 3)

12x−-36+-6x+-18− 2x2+-18 (x − 3)(x +3) = 0;

2 -−2x-+18x-= 0; (x − 3)(x +3)

({ −2x2+18x= 0, ( (x − 3)(x+ 3)⁄= 0;

(| ||{ −2x(x− 9)= 0, || x⁄= 3, |( x⁄= −3;

( |||x = 0, |||{x = 9, | |||||x ⁄= 3, (x ⁄= −3.

Первый корень не имеет смысла. Сделаем вывод: скорость лодки – $9$ км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#136927

Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за $45$ мин. Если его скорость увеличить на $10$ км/ч, то он пройдёт это расстояние за $40$ мин. Чему равно расстояние между станциями?

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – скорость поезда, тогда расстояние, которое он проходит - $3x 4$ км.

А с увеличенной скоростью он проходит $2 3(x+ 10)$ км.

Эти два расстояния равны, тогда:

3 2 4x= 3(x+ 10);

9x = 8x +80;

x= 80.

Скорость поезда - $80$ км/ч. Подставим его в любое из расстояний и получим, что расстояние между станциями - $60$ км.

Ответ: 60.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#136928

Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на $80$ больше большего из них.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть $n$ – первой число. Значит следующее за ним число – $n+ 1.$ Тогда имеет место следующее уравнение:

n(n +1)= (n+ 1)+ 80;

2 n +n =n +81;

n2 =81;

n= ±9.

Нам подходит только корень $9,$ так как по условию числа – натуральные. Значит искомые числа - $9$ и $10.$

Ответ: 9 и 10.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#136930

Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна $70,$ а одна из сторон на $9$ больше другой.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть сторона прямоугольника равна $a$ , тогда другая равна $a +9.$

Периметр $P = a+ a+9 =2a+ 9.$

Площадь $S = a(a+9)= 70.$

a(a+ 9)=70;

2 a + 9a− 70 =0;

D =81− 4⋅(−70)=81+ 280= 361= 192;

a1 = −9+-19= 5. 2

a2 = −9−-19= −14. 2

Нам подходит только первый корень, так как сторона не может быть отрицательной. Значит $a= 5.$

Тогда $P = 2a+ 9= 2⋅5 +9 =19.$

Ответ: 19.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#136931

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна $365.$ Найдите эти числа.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть первое число – $n,$ тогда следующее за ним число – $n+ 1.$

Тогда имеет место следующее уравнение:

2 2 n + (n+ 1) = 365;

2 2 n + n +2n +1= 365;

2n2+2n =364;

n2+n =182;

n2+ n− 182=0;

D = 1− 4⋅(− 182)= 1+ 728= 729= 272;

− 1+ 27 n1 =---2-- = 13.

n2 = −1−-27= −14. 2

Нам подходит только первый корень, так как по условию даны натуральные числа. Значит $n= 13.$ Тогда искомые числа – $13$ и $14.$

Ответ: 13 и 14.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#136933

Из пункта $A$ выехал велосипедист, а через $45$ мин после него в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии $15$ км от пункта $A.$ Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на $18$ км/ч больше скорости велосипедиста.

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость грузовика составляет $(x+ 18)$ км/ч. Велосипедист проезжает $15$ км за $15 x$ ч, а грузовик — за $-15-- x+18$ ч.

Поскольку грузовик проехал $15$ км на $45$ мин, то есть на $3 4$ ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение:

15 15 3 -x − x-+18 = 4;

5− --5--= 1; x x+ 18 4

20x+360−-20x-− x2−-18x= 0; 4x(x +18)

({ 2 x + 18x− 360= 0, (x ⁄=− 18,x⁄= 0.

Решив квадратное уравнение системы, получим $x= 12$ или $x =− 30.$ Корень $− 30$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна $12$ км/ч, а скорость грузовика составляет $12+ 18 =30$ (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#136935

Одна бригада работала на ремонте дороги $7$ ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через $2$ ч их совместной работы ремонт был завершён. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на $4$ ч больше, чем второй?

Источники: Алгебра. 8 класс. Учебник - Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за $x$ ч, тогда второй для этого нужно $(x − 4)$ ч.

За $1$ ч первая бригада ремонтирует $1 x$ часть дороги, а вторая — $-1- x−4$ часть дороги.

Первая бригада работала $9$ ч и отремонтировала $9 x$ дороги, а вторая бригада работала $2$ ч и отремонтировала соответственно $-2- x−4$ .

Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то:

9 2 x + x−-4 = 1

Полученное уравнение имеет два корня $x1 =12$ и $x2 = 3.$ Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада должна была бы отремонтировать дорогу за $3 − 4= −1$ (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за $12$ ч, а вторая — за $8$ ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.