Тема Текстовые задачи

05 Перебор

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126215

Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр которых не превосходит $4?$

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Перечислим все возможные трехзначные числа, сумма цифр которых не превосходит $4:$

Сумма цифр равна $1:100$
Сумма цифр равна $2:110,101,200$
Сумма цифр равна $3:111,120,102,210,201,300$
Сумма цифр равна $4:112,121,130,103,211,220,202,310,301,400$

Подсчитаем количество чисел:

Сумма $1:1$ число
Сумма $2:3$ числа
Сумма $3:6$ чисел
Сумма $4:10$ чисел

Всего: $1+3 +6+ 10= 20$

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126216

Сколько существует четырёхзначных чисел, сумма цифр которых больше $33?$

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Пусть четырёхзначное число имеет вид $abcd,$ где $a,b,c,d$ - цифры от $0$ до $9,$ причем $a⁄= 0.$ Нам нужно найти количество чисел таких, что $a +b+ c+d >33.$

Максимальная сумма цифр четырёхзначного числа равна $9+ 9+ 9+ 9= 36.$ Следовательно, возможные суммы цифр, удовлетворяющие условию, это $34,$ $35$ и $36.$

Перечислим все возможные варианты:

Сумма цифр равна $36:$ Единственный вариант - $9999$ (одно число).
Сумма цифр равна $35:$ Возможные варианты: $8999,9899,9989,9998$ (четыре числа).
Сумма цифр равна $34:$ Возможные варианты:
- Содержит цифру $7 :$ $7999,9799,9979,9997$ (четыре числа)
- Содержит цифры $8$ и $8 :$ $8899,8989,8998,9889,9898,9988$ (шесть чисел)
Всего для суммы $34 :$ $4+ 6=10$ чисел.

Общее количество чисел равно $1+ 4+ 10=15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126217

На окружности отметили четыре различные точки. Сколько при этом получилось дуг?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим точки на окружности как $A,B,C,D.$ Дуга определяется двумя точками. Перечислим все возможные дуги:

Дуги, начинающиеся в точке $A$ : $AB,AC,AD$ (3 дуги)

$PIC$
Дуги, начинающиеся в точке $B$ : $BA,BC,BD$ (3 дуги)

$PIC$
Дуги, начинающиеся в точке $C$ : $CA,CB,CD$ (3 дуги)

$PIC$
Дуги, начинающиеся в точке $D$ : $DA,DB, DC$ (3 дуги)

$PIC$

Всего $3+ 3+ 3+ 3= 12$ дуг.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126218

Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра меньше второй?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Пусть двузначное число имеет вид $ab,$ где $a$ - первая цифра, $b$ - вторая цифра, и $a< b.$ Тогда $a$ может принимать значения от $1$ до $8,$ а $b$ - от $a+ 1$ до $9.$

Перечислим возможные варианты:

Если $a =1,$ то $b$ может быть $2,3,4,5,6,7,8,9$ ( $8$ вариантов)
Если $a =2,$ то $b$ может быть $3,4,5,6,7,8,9$ ( $7$ вариантов)
Если $a =3,$ то $b$ может быть $4,5,6,7,8,9$ ( $6$ вариантов)
Если $a =4,$ то $b$ может быть $5,6,7,8,9$ ( $5$ вариантов)
Если $a =5,$ то $b$ может быть $6,7,8,9$ ( $4$ варианта)
Если $a =6,$ то $b$ может быть $7,8,9$ ( $3$ варианта)
Если $a =7,$ то $b$ может быть $8,9$ ( $2$ варианта)
Если $a =8,$ то $b$ может быть $9$ ( $1$ вариант)

Всего вариантов: $8+ 7+6+ 5+ 4+ 3+2 +1 =36.$

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126219

Шесть знакомых обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим знакомых как $1,2,3,4,5,6.$ Каждый человек пожимает руку каждому другому один раз.

Первый человек пожимает руку $5$ другим. Второй человек пожимает руку $4$ другим (первому он уже пожал). Третий человек пожимает руку $3$ другим.(два уже подходили к нему сами и жали руку, осталось трое) Четвертый человек пожимает руку $2$ другим. Пятый человек пожимает руку $1$ другому. Шестой человек уже всем пожал руку.

Всего рукопожатий: $5+ 4+ 3+2 +1 =15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126220

Семеро шахматистов провели двухкруговой турнир, в котором каждый сыграл с каждым по две партии (одну партию белыми фигурами, одну — чёрными). Сколько партий было сыграно на турнире?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

В однокруговом турнире каждый из 7 шахматистов играет с каждым другим по одному разу. Обозначим шахматистов числами от 1 до 7.

Перечислим все партии, сыгранные в однокруговом турнире:

$1$ играет с $2,3,4,5,6,7$ $(6$ партий)
$2$ играет с $3,4,5,6,7$ $(5$ партий)
$3$ играет с $4,5,6,7$ $(4$ партии)
$4$ играет с $5,6,7$ $(3$ партии)
$5$ играет с $6,7$ $(2$ партии)
$6$ играет с $7$ $(1$ партия)

Всего в однокруговом турнире: $6 +5+ 4+ 3+2 +1 =21$ партия.

Так как турнир двухкруговой, и каждый играет с каждым дважды, общее количество партий равно $2⋅21 =42.$

Ответ: 42

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126221

Девять шестиклассников получили по математике, русскому языку и географии четвёрки и пятёрки в четверти. Докажите, что хотя бы у двух из них оценки по этим предметам полностью совпадают.

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

По каждому предмету ученик может получить либо четвёрку, либо пятёрку. Рассмотрим все возможные комбинации оценок по трём предметам:

1.: $444$ $(4$ по математике, $4$ по русскому, $4$ по географии)
2.: $445$
3.: $454$
4.: $455$
5.: $544$
6.: $545$
7.: $554$
8.: $555$ ( $5$ по математике, $5$ по русскому, $5$ по географии)

Мы видим, что существует всего $8$ различных комбинаций оценок.

Предположим, что все $9$ учеников получили разные комбинации оценок. Но это невозможно, так как у нас есть только $8$ возможных комбинаций.

Следовательно, как минимум у двух учеников комбинации оценок должны совпасть. Значит, хотя бы у двух шестиклассников оценки по математике, русскому языку и географии полностью совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Действительно совпадут.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126222

Двум врачам нужно посетить четырёх больных, причём каждый врач должен побывать у каких-либо двух больных. Сколькими способами врачи могут распределить между собой эти посещения?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим врачей как $A$ и $B,$ а больных как $1,2,3,4.$ Врач $A$ должен посетить двух больных, и врач $B$ тоже должен посетить двух больных. Поскольку всего больных $4,$ то если врач $A$ посещает каких-то двух больных, врач $B$ посещает оставшихся двух.

Перечислим возможные варианты, какие больных посещает врач $A :$

1.: Врач $A$ посещает больных $1,2.$ Тогда врач $B$ посещает больных $3,4.$
2.: Врач $A$ посещает больных $1,3.$ Тогда врач $B$ посещает больных $2,4.$
3.: Врач $A$ посещает больных $1,4.$ Тогда врач $B$ посещает больных $2,3.$
4.: Врач $A$ посещает больных $2,3.$ Тогда врач $B$ посещает больных $1,4.$
5.: Врач $A$ посещает больных $2,4.$ Тогда врач $B$ посещает больных $1,3.$
6.: Врач $A$ посещает больных $3,4.$ Тогда врач $B$ посещает больных $1,2.$

Всего $6$ способов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126223

Четверо господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Эта задача - классическая задача о беспорядке. Обозначим господ (и их шляпы) как $1,2,3,4.$ Нам нужно найти количество перестановок, в которых ни один элемент не остается на своем месте.

Перечислим все возможные варианты, где никто не получил свою шляпу:

1.: $2143$ (первый получил шляпу второго, второй получил шляпу первого, третий получил шляпу четвертого, четвертый получил шляпу третьего)
2.: $2341$
3.: $2413$
4.: $3142$
5.: $3412$
6.: $3421$
7.: $4123$
8.: $4312$
9.: $4321$

Подсчитаем количество вариантов: $9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#126224

Алфавит племени Ни-Бум-Бум содержит только три буквы — А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из трёх букв. Сколько слов в языке этого племени?

Источники: MathUs, Комбинаторика. Перебор вариантов (см. mathus.ru)

Показать ответ и решение

Слово может состоять из одной, двух или трех букв.

Одна буква: А, Б, В $(3$ варианта)
Две буквы: Каждая позиция может быть любой из $3$ букв: А, Б, В. АА, АБ, АВ, БА, ББ, БВ, ВА, ВБ, ВВ. Всего $3⋅3= 9$ вариантов.
Три буквы: Каждая позиция может быть любой из 3 букв: А, Б, В. Всего $3⋅3⋅3= 27$ вариантов.

Итого: $3+ 9+ 27 =39$ слов.

Ответ: 39