Тема Логика

03 Множества и операции над ними

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#125826

Пусть А — множество различных букв слова «координата», В — множество различных букв слова «абсцисса», С — множество различных букв слова «ордината». Сколько элементов в объединении этих трёх множеств?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Сначала определим множества A, B и C:

A (координата): $A ={к,о,р,д,и,н,а,т}$
B (абсцисса): $B = {а,б,с,ц,и}$
C (ордината): $C = {о,р,д,и,н,а,т}$

Нам нужно найти количество элементов в объединении этих множеств: $|A ∪B ∪C|.$ Это означает, что мы должны собрать все различные буквы из всех трех множеств, не повторяя буквы.

Перечислим элементы множества $A ∪B ∪C :$ ${к,о,р,д,и,н,а,т,б,с,ц}$

Посчитаем количество букв: Итого, $11$ различных букв.

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#125827

Каждый ученик класса изучает английский или французский язык. Английский изучают $24$ ученика, французский $16$ учеников; и английский, и французский — $11$ учеников. Сколько всего учеников в классе?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Длина множества обозначается |F| (кол-во элементов в множестве )

Пусть:

$E$ - множество учеников, изучающих английский язык. $|E|= 24$
$F$ - множество учеников, изучающих французский язык. $|F|= 16$
$E ∩F$ - множество учеников, изучающих оба языка (английский и французский). $|E∩ F|= 11$

Нам нужно найти общее количество учеников в классе, которое равно $|E ∪F|$ (количество учеников, изучающих хотя бы один из языков).

Используем формулу для количества элементов в объединении двух множеств: $|E ∪F|= |E |+ |F|− |E∩ F|$

Подставим известные значения: $|E ∪F |=24+ 16− 11$ $|E ∪F|= 40− 11$ $|E ∪F |=29$

Таким образом, в классе всего $29$ учеников.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#125940

Сколько натуральных чисел, не больших $150,$ которые не делятся ни на $3,$ ни на $8?$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Пусть:

$A$ - множество натуральных чисел, не больших $150,$ делящихся на $3.$
$B$ - множество натуральных чисел, не больших $150,$ делящихся на $8.$

$PIC$

Нам нужно найти количество натуральных чисел, не больших $150,$ которые не принадлежат ни множеству $A,$ ни множеству $B.$ Это эквивалентно $|U|− |A ∪B |,$ где $U$ - множество всех натуральных чисел от $1$ до $150,$ $|U|= 150.$

1.

Найдем количество чисел, делящихся на $3 :$

$|A|= ⌊150⌋= 50 3$

2.

Найдем количество чисел, делящихся на $8 :$

$⌊ ⌋ |B|= 1580-= 18$

3.

Найдем количество чисел, делящихся и на $3,$ и на $8.$ Так как $3$ и $8$ взаимно простые, это эквивалентно делению на $3⋅8 =24:$

$|A∩ B|= ⌊150⌋= 6 24$

4.

Найдем количество чисел, делящихся на $3$ или на $8$ (используем формулу включений-исключений):

$|A∪ B|= |A|+ |B |− |A ∩B |=50+ 18− 6 =62$

5.

Найдем количество чисел, не делящихся ни на $3,$ ни на $8:$

$|U|− |A∪ B|= 150 − 62= 88$

Таким образом, $88$ натуральных чисел, не больших $150,$ не делятся ни на $3,$ ни на $8.$

Ответ: 88

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#125943

Какое равенство иллюстрирует распределительное свойство пересечения?

1.: $(Z∪ Y)∩ X =(Z∩ X)∪ (Y ∩ X)$
2.: $(Z∪ X)∪ Y =Z ∪(X ∪Y)$
3.: $(Z∩ X)∩ Y =Z ∩(X ∩Y)$
4.: $(X ∩Y)∪ Z =(X ∪Z)∩ (Y ∪ Z)$

Источники: Якласс, Свойства операций над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Распределительное свойство пересечения относительно объединения утверждает, что пересечение объединения двух множеств с третьим множеством равно объединению пересечений каждого из этих двух множеств с третьим множеством. В данном случае, это соответствует равенству:

$(Z ∪Y)∩ X = (Z ∩X )∪(Y ∩ X)$

Ответ:

$(Z∪ Y)∩ X =(Z∩ X)∪ (Y ∩X )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#125945

Отметь верное решение, если $A= {−12,− 7,2,13,18},$ $B = {−10,− 2,2,10,18},$ $C = {−12,− 2,2,13}.$ Вычислить $(A∩ C)∪(B ∩C).$

Источники: Якласс, Свойства операций над множествами (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдем $A ∩C :$

A∩ C = {−12,−7,2,13,18}∩{− 12,−2,2,13}= {−12,2,13}

Теперь найдем $B ∩C :$

B ∩C = {−10,−2,2,10,18}∩{−12,−2,2,13} ={−2,2}

Наконец, найдем $(A ∩C )∪(B∩ C):$

(A ∩C)∪ (B∩ C)= {− 12,2,13}∪ {−2,2} ={−12,−2,2,13}

Среди предложенных вариантов, правильный ответ:

${− 12,−2,2,13}$

Ответ: {-12, -2, 2, 13}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#125948

Даны множества: $A ={1;2;3;4;5};$ $B ={3;5;7};$ $C ={3;4;6;8}.$ Найдите $(A∖ B)∪(B ∖C).$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

$A = {1;2;3;4;5}$
$B = {3;5;7}$
$C = {3;4;6;8}$

Сначала найдем $A ∖B :$

A∖ B = {1;2;3;4;5}∖{3;5;7}= {1;2;4}

Теперь найдем $B ∖C :$

B ∖C = {3;5;7}∖ {3;4;6;8}= {5;7}

Наконец, найдем $(A ∖B)∪ (B ∖C) :$

(A∖ B)∪(B ∖C)= {1;2;4} ∪{5;7}= {1;2;4;5;7}

Ответ: {1; 2; 4; 5; 7}

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#125950

Пусть А — множество чисел промежутка $[−3;0],$ В — множество чисел промежутка $(− 1;5).$ Найдите $A ∪B.$

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Заданы множества:

$A = [−3;0]$ (числа от -3 до 0 включительно)
$B = (− 1;5)$ (числа от -1 до 5, не включая 5)

Чтобы найти объединение $A∪ B,$ нужно взять все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Промежуток $A$ начинается с $− 3$ и заканчивается в $0.$ Промежуток $B$ начинается с $− 1$ и заканчивается в $5$ (не включая $5).$

$PIC$

Таким образом, объединение промежутков начинается с $− 3$ и заканчивается в $5$ (не включая $5).$

Следовательно, $A∪ B = [−3;5).$

Ответ: [-3; 5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#125951

Пусть А — множество ромбов, В — множество прямоугольников, С — множество треугольников, D — множество квадратов, Е — множество трапеций. Какие из множеств В, С, D или Е являются подмножествами множества А?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

Нам даны следующие множества геометрических фигур:

A: Ромбы (четырехугольники с равными сторонами)
B: Прямоугольники (четырехугольники с четырьмя прямыми углами)
C: Треугольники (трехсторонние многоугольники)
D: Квадраты (четырехугольники с равными сторонами и четырьмя прямыми углами)
E: Трапеции (четырехугольники с хотя бы одной парой параллельных сторон)

Нужно определить, какие из множеств B, C, D или E являются подмножествами множества A. Это означает, что каждый элемент (фигура) из подмножества должен также быть элементом множества A.

B (Прямоугольники) не являются подмножеством A (Ромбов), так как прямоугольник может не иметь равных сторон.
C (Треугольники) не являются подмножеством A (Ромбов), так как это разные типы фигур $(3$ стороны против $4).$
D (Квадраты) являются подмножеством A (Ромбов), так как квадрат имеет равные стороны.
E (Трапеции) не являются подмножеством A (Ромбов), так как трапеция не обязательно имеет равные стороны.

Таким образом, только множество D (Квадраты) является подмножеством множества A (Ромбов).

Ответ: D

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#125953

В магазин за один час зашло $29$ человек. Из них $20$ купили хлеб, $17$ — фрукты, $5$ — не купили ничего. Сколько человек купили и хлеб, и фрукты?

Источники: Е.В. Смыкалова Математика Задачи по теории множеств (см. www.koob.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Решение 1

1.: $29− 5= 24$ (чел.) - купили хлеб или фрукты
2.: $24− 20= 4$ (чел.) - купили только фрукты
3.: $17− 4= 13$ (чел.) - купили и хлеб, и фрукты

Решение 2

1.: $29− 5= 24$ (чел.) - купили хлеб или фрукты
2.: $24− 17= 7$ (чел.) - купили только хлеб
3.: $20− 7= 13$ (чел.) - купили и хлеб, и фрукты

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#125954

В школе $116$ семиклассников. Только немецкий язык изучают $20$ семиклассников; немецкий, но не английский $¯24;$ немецкий и французский — $9;$ немецкий — $30;$ французский — $45;$ французский и английский — $11;$ не изучают эти языки — $24.$ Сколько школьников изучают английский язык?