Тема Геометрия 5-6

07 Площадь

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 5-6

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126268

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной $15$ см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами $3$ м и $2,7$ м?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Найдем площадь пола: $3⋅2,7 =8,1м2$

Переведем метры в сантиметры для удобства: $2 2 2 8,1м =8,1⋅100 = 81000 см$

$2)$ Найдем площадь одной плитки: $2 15⋅15=225см$

$3) 81000= 360 225$ — плиток потребуется для покрытия пола.

Ответ: 360

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126269

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами $8$ м и $18$ м

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника: $S = ab= 8⋅18 =144м2.$

Площадь квадрата: $2 2 S = a = 144м$

$2 a =144$

$√--- a= 144$

$a= 12$ м — сторона квадрата.

Ответ: 12 м

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126270

Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами $220$ м и $160$ м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Запишем дано:

Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны прямоугольника, $c$ — сторона квадрата

Пусть периметр прямоугольника будет обозначаться $P1,$ а квадрата — $P2.$ Аналогично $S1$ и $S2,$ соответственно.

$a= 220$ м.

$b=160$ м.

$P1 = P2$

Найти:

Площадь какого участка больше и на сколько?

Решение:

$1)$ $P1 = 2(a+ b)=2(220 +160)=760$ м.

$P2 = 4c$

Так как $P1 = P2, ⇒ 4c= 760$ м.

$c=190$ м.

$2)$ $S1 = ab =220⋅160 =35200м2$

$S2 =c2 = 1902 = 36100м2$

Заметим, что $S2$ больше $S1$ на $S2− S1 = 35200− 36100= 900 м2.$

Ответ:

Площадь квадратного участка больше прямоугольного на $900м2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126271

Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны прямоугольника, а $S$ — его площадь. Вычислите:

а) $S,$ если $a =8,5$ см, $b= 3,2$ см;

б) $S,$ если $√ - a =2 2$ см, $b= 3$ см;

в) $b,$ если $a= 32$ см, $2 S =684,8 см ;$

г) $a,$ если $b= 4,5$ см, $2 S = 12,15см .$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Формула площади прямоугольника: $S = ab$

Тогда $S S a = -; b=-. b a$

а) $S = 8,5⋅3,2= 27,2см2;$

б) $S = 2√2⋅3= 6√2см2;$

в) $684,8 b= -32-= 21,4$ см;

г) $12,15 a = 4,5 = 2,7$ см.

Ответ:

а) $27,2см2;$

б) $√ - 2 6 2см;$

в) $21,4$ см;

г) $2,7$ см.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126273

Найдите площадь квадрата, если его периметр равен $80$ см.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ $P = 4a= 80$ см.

$80 a= --= 20 4$ см.

$S = a2 = 202 = 400см2$

Ответ:

$400см2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126274

На продолжении стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$ отмечена точка $E,$ симметрична точке $B$ относительно вершины $C.$ Докажите, что площадь треугольника $ABE$ равна площади прямоугольника $ABCD.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $F$ — точка пересечения $AE$ и $CD.$ Треугольники $ADF$ и $ECF$ равны (по катету и острому углу). Прямоугольник $ABCD$ составлен из трапеции $ABCF$ и треугольника $ADF.$ Треугольник $ABE$ составлен из той же трапеции $ABCF$ и треугольника $ECF,$ равного $ADF.$ Таким образом, данные прямоугольник и треугольник составлены из соответственно равных фигур и, следовательно, равны их площади, что и требовалось доказать.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126275

Какую площадь имеют части квадрата со стороной $a,$ на которые он разбивается своими диагоналями?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь квадрата со стороной $a$ равна:

$2 S = a$

Диагонали разделяют квадрат на $4$ равных треугольника, тогда площадь одного из них будет равна:

$1 S′ =-a2 4$

Ответ:

$1 4 a2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126276

Как изменится площадь прямоугольника, если его стороны:

а) увеличатся в $2$ раза;

б) уменьшатся в $3$ раза;

в) изменяется в $k$ раз?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = ab$

а) Если каждая сторона $a$ и $b$ увеличится в $2$ раза, формула площади прямоугольника изменится следующим образом:

$S = 2a⋅2b =4ab$

Сравнивая с изначальной формулой, можем заметить, что площадь увеличилась в $4$ раза;

б) Если каждая сторона $a$ и $b$ уменьшится в $3$ раза, формула площади прямоугольника изменится следующим образом:

$S = 1a⋅ 1 b=-1-ab= 1ab 3 3 3⋅3 9$

Сравнивая с изначальной формулой, можем заметить, что площадь уменьшилась в $9$ раза;

в) Если каждая сторона $a$ и $b$ увеличится или уменьшится в $k$ раза, формула площади прямоугольника изменится в $k⋅k =k2$

Ответ:

а) увеличится в $4$ раза;

б) уменьшатся в $9$ раз;

в) изменится в $2 k$ раз.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126277

Стороны прямоугольника равны $12$ см и $3$ см. Нарисуйте:

а) равновеликий ему прямоугольник, сторона которого равна $10$ см;

б) равновеликий ему прямоугольник, стороны которого относятся как $3:4;$

в) равновеликий ему квадрат.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь исходного прямоугольника равна:

$2 S = ab=12⋅3 =36см$

а) По условию прямоугольники должны быть равновеликими, а значит равной площади, запишем это и найдем длину второй стороны:

$10b= 36$

$36 b= 10-=3,6$

Теперь можем изобразить это:

$PIC$

б) Обозначим стороны прямоугольника как $3x$ и $4x,$ чтобы они относились как $3 :4.$ Составим уравнение:

$3x ⋅4x =36$

$2 12x = 36$

$2 x =3$

$√- x= 3$

Тогда одна стороны равны $√- 3 3$ и $√- 4 3;$

Теперь можем изобразить это:

$PIC$

в) Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a2.$ Составим уравнение, зная, что площадь равна $36 :$

$a2 =36$

$a= √36= 6$

Теперь можем изобразить это:

$PIC$

Ответ:

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#126278

Найдите стороны прямоугольника, если его периметр $74$ дм, а площадь $3 м2.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника находится по формуле $S = ab.$ Периметр — $P = 2(a+b).$

Переведем метры в дециметры:

$2 2 2 3м = 3⋅10 =300дм$

Составим систему:

$( ( {2(a+ b)= 74 {a +b= 37 (1) (a⋅b= 300 ⇒ (a ⋅b =300 (2)$

Из уравнения $(1)$ получим $a= 37− b.$ Подставим значение $a$ в уравнение $(2):$

$(37− b)⋅b= 300$

$37b− b2 =300 |+ b2 − 37b$

$b2− 37b+300= 0$

Найдем дискриминант:

$D= (−37)2− 4⋅003= 1369− 1200= 169= 132$

$− (− 37)+ √132 37+ 13 50 a= ------------= ------= --=25 2⋅1 2 2$

$− (−37)− √132 37− 13 24 b= ----2⋅1-----= --2---=-2 =12$

Стороны прямоугольника равны $12$ дм и $25$ дм.

Ответ: 12 дм и 25 дм.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#126279

Найдите площадь $S$ квадрата по его диагонали $a.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Диагональ квадрата делит его на два прямоугольных треугольника, тогда по теореме Пифагора:

Примечание: пусть сторона треугольника $= b.$

$2 2 2 b+ b = a$

$2 2 2b = a$

$b2 = a2 2$

$∘ a2 a b= -2 = √- 2$

Таким образом, сторона квадрата выражается через диагональ $a,$ как $a √-. 2$

Ответ:

$a √2-$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#126280

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами $8$ м и $18$ м.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Найдем площадь прямоугольника:

$S = 8⋅18= 144$

$2)$ Найдем сторону квадрата:

$2 S = a$

$2 a =144$

$√--- a= 144=12$

Сторона квадрата равна $12.$

Ответ: 12 м

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#126281

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$PIC$

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна $2R,$ тогда его сторона равна:

$2a2 = (2R)2$

$2a2 = 4R2$

$a2 =2R2$

$- a= √2R$

Тогда его площадь равна: $(√2R)2 = 2R2$

Сторона описанного около окружности квадрата равна $2R$

Тогда площадь равна: $(2R2)= 4R2$

Сравним их стороны:

$4R 4 2R= 2= 2.$

Значит площадь квадрата, описанного около окружности в $2$ раза больше площади квадрата, вписанного в окружность.

Ответ: В 2 раза больше.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#126282

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

$PIC$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

Пусть катеты треугольника $a$ и $b.$ Тогда площади квадратов, построенных на катетах, в сумме равны:

$2 2 a +b$

Гипотенуза треугольника по теореме Пифагора равна $√ -2--2- a +b$

Площадь этого треугольника равна $√ 2---22 2 2 ( a +b ) =a + b,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#126283

На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ построен треугольник $ABE$ так, что его стороны $AE$ и $BE$ пересекают отрезок $CD$ в точках $M$ и $N,$ причем точка $M$ — середина отрезка $AE.$ Докажите, что прямоугольник $ABCD$ и треугольник $ABE$ равновелики.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Смирнова И.М., Смирнов В.А. (см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

Изобразим условие:

$PIC$

$1.$ $SABCD = BA ⋅AD$

$2.$ Проведем высоту в треугольнике $ABE$ $EH,$ точка пересечения $CD$ и $EH$ — $′ H .$ Тогда $1 SABE = 2BA ⋅HE$

$3.$ По теореме Фалеса:

$BA∥ CD,$ $′ AM = ME ⇒ HH = HE$

$4.$ $HH ′ = AD ⇒ HE = 2AD,$ тогда $SABE = 1⋅BA ⋅2AD =BA ⋅AD ⇒ SABCD = SABE, 2$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#126284

В прямоугольнике диагональ равна $10,$ угол между ней и одной из сторон равен $30∘,$ длина этой стороны $5√3.$ Найдите площадь прямоугольника.

Источники: Решу ОГЭ (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Катет, лежащий напротив угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы, поэтому $CD = 5.$ Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$√- √ - S = 5 3⋅5= 25 3$

Таким образом, площадь прямоугольника равна $√- 25 3.$

Ответ:

$25√3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#126285

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен $44$ и одна сторона на $2$ больше другой.

Источники: Решу ОГЭ (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдем стороны прямоугольника. Пусть $x$ — меньшая сторона прямоугольника. Тогда другая сторона равна $x+ 2.$ Периметр прямоугольника:

$2(x+ (x +2))= 44,$

$2(2x+ 2) =44 |:2$

$2x +2= 22$

$2x =20$

$x= 10$

Поэтому площадь прямоугольника равна $10⋅12 =120.$

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#126286

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса $83.$

Источники: Решу ОГЭ (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $R$ и $D$ соответственно радиус и диаметр окружности, $a$ — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдем площадь квадрата:

$2 2 2 2 S = a = D = (2R )= (2⋅83) = 27556.$

Ответ: 27556

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#126287

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен $60,$ а отношение соседних сторон равно $4:11.$

Источники: Решу ОГЭ (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Пусть одна сторона прямоугольника равна $4x,$ а другая $11x,$ тогда их соотношение будет равно $4:11.$ Периметр прямоугольника равен:

$2(4x+ 11x)= 60$

$15x =30$

$60 x= 15= 2$

Площадь прямоугольника равна:

$4⋅2⋅11⋅2 =176.$

Ответ: 176

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#126288

В прямоугольнике одна сторона равна $96,$ а диагональ равна $100.$ Найдите площадь прямоугольника.

Источники: Решу ОГЭ (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, $c$ — длина диагонали. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и сторонами треугольника, из теоремы Пифагора найдем вторую сторону прямоугольника:

$√ 2---2- √---2---2 √------- b= c − a = 100 − 96 = 4 625− 576 =4⋅7 =28.$

Найдем площадь прямоугольника как произведение его сторон:

$S = ab=96⋅28= 2688.$

Ответ: 2688