Логарифмы на МВ (Финашке)

ОДЗ функции: Пропотенцируем уравнение по основанию логарифма: и, переобозначив , получим

Выясним, при каких данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее Сразу исключим два очевидных случая и

Остается рассмотреть вариант Заметим, что левая часть уравнения для указанных степеней является выпуклой вверх функцией, т.к.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения является касательной к графику при , уравнение корней среди не имеет.

Во всех оставшихся случаях будет пересекаться с прямой при

Действительно, в случае касательная, проведённая к в точке оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой а следовательно, и сам график находится выше прямой в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки Однако в точке функция обнуляется и её график становится уже ниже прямой В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала найдётся точка пересечения их графиков.

В случае будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания график находится выше прямой Однако,

следовательно, рано или поздно график функции станет ниже прямой и в силу непрерывности обеих функций на луче найдётся точка пересечения их графиков.