Параметры на КФУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра 
три различных параболы с уравнениями 
имеют общую
касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)
Источники:
Подсказка 1
Пусть y = kx + b — касательная. Касание каждой параболы дает 3 уравнения на равенство функций, причем каждое уравнение имеет единственное решение. Какая система тогда получится?
Подсказка 2
У нас есть три уравнения ax² + x + 1 = kx + b, x² + ax + 1 = kx + b, x² + x + a = kx + b. Каждое из них из-за касания имеет единственное решение. Какие три условия тогда можно еще записать?
Подсказка 3
Верно! Условия на равенство дискриминантов нулю. Тогда выходит, что (1-k)² = 4a(1-b), (a-k)² = 4(1-b), (1-k)² = 4(a-b). Как решать такую систему?
Подсказка 4
Точно! Из первого и третьего уравнений легко получить, что b = 0 при любых a или a = 1 при любых b. Какой из двух случаев реализуется?
Подсказка 5
Конечно, a = 1 не подходит, так как тогда две из трех парабол в условии совпадают. Тогда b = 0. Что получится, если это подставить?
Пусть 
— касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой 
с каждой из парабол:
Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю:
Из первого и третьего уравнений:
Отсюда возможно два случая:
Значение 
не подходит, так как тогда первая и третья параболы совпадают, что противоречит условию об их
различии.
Так как 
верно:
Получаем 2 случая:
Решения: 
при 
при 
при 
Из всех решений подходит только одно: 
при 
Получаем единственное значение параметра: 
9
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
