Миссия выполнима 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для чисел из интервала
выполняется равенство
Докажите, что сумма некоторых двух из чисел равна сумме двух остальных.
Подсказка 1
Нам нужно как-то связать обе части, в идеале все разложить на множители ;) Но пока что части похожими совсем не выглядят. Какие преобразования существует для произведения двух косинусов (синусов)?
Подсказка 2
Произведение косинусов можно расписать в сумму косинусов суммы! А произведение косинусов можно расписать в разность косинусов суммы) Также подумаем, как левую часть привести к похожему виду)
Подсказка 3
Распишите левую часть уравнение по формуле суммы косинусов!
Подсказка 4
Отлично, теперь в обеих частях у нас есть cos(x+y), cos(x-y), cos(z+t), cos(z-t). Разумно попробовать разложить всё на множители!
Подсказка 5
Супер, получим совокупность равенств косинусов! Осталось лишь вспомнить условие задачи ;)
Воспользуемся формулами произведения косинусов и произведения синусов
Вычитая второе из первого, получаем
Тогда исходное равенство примет вид
Сгруппируем
Так как из интервала
числа
из интервала
на этом интервале косинус каждое значение принимает
по одному разу, поэтому если равны косинусы, то равны и аргументы.
Так как возможны два случая:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны все натуральные числа от до
Можно любую пару чисел
заменять на
Какое число
останется после
таких операций?
Подсказка 1
Сходу непонятно, почему при изменении порядка произведения операций в итоге должно остаться одно и то же число. Скорее всего наша операция устроена как-то хитро. Вас не смущает какой-то намек на число 29?
Подсказка 2
Наша операция как-то сильно связана с числом 29. Может, при подстановке 29 будет что-то интересное. Попробуйте подставить пару (a, 29) и посмотреть, что получится...
Подсказка 3
Хммм... При такой подстановке функция выдает значение 29. Очевидно, что и при подстановке пары (29, а) значение будет также равняться 29. Какое же тогда число скорее всего останется в конце?
Подсказка 4
Верно, 29! Ведь если сейчас на доске есть число 29, то после применения операции оно также останется на доске. Т.к. изначально оно присутствует, то и в конце тоже.
Заметим, что . Если одно из пары заменяемых чисел
равно
, то эта пара чисел
заменяется на
. Следовательно, на доске всегда одно из чисел будет равно
. Именно это число останется после
рассматриваемых
операций.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В некотором регионе работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на
ниже средней зарплаты по этому
региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех
работающих?
Подсказка 1
Попробуем выразить зарплату бюджетников через количество всех работающих и их среднюю зарплату. Какую долю от всех денег получают бюджетники?
Подсказка 2
Правильно, нужно 0.6 умножить на 0.8 — именно такую долю получают бюджетники. Тогда какую долю от средней зарплаты по всем работникам получают не бюджетники?
Подсказка 3
Итак, мы знаем, какую долю от средней зарплаты получают не бюджетники, тогда теперь нужно в процентах от доли бюджетников выразить разность между их долей средней зарплаты и долей не бюджетников, и мы получим ответ!
Пусть - число всех работающих,
их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно
, а их средняя зарплата равна
.
Зарплата всех бюджетников равна
. Средняя зарплата остальных
работающих равна
Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с до
,
то есть на
на .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длины диагоналей граней и
параллелепипеда
выражаются различными целыми числами.
Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?
Подсказка 1
В условии можно зацепиться за целочисленность и различие диагоналей. Давайте попробуем их как-то оценить!
Подсказка 2
Подумайте, насколько маленькими могут быть указанными диагоналями?
Подсказка 3
Возьмите какую-то из указанных диагоналей и оцените её при помощи неравенства треугольника для некоторой грани.
Подсказка 4
Докажите, что длина каждой из указанных диагоналей хотя бы 2.
Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство , поскольку в треугольнике
(сторона
которого равна
) должно выполняться неравенство
Аналогично доказывается для диагоналей граней и
.
Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2.
Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны и
Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:
Таким образом, наименьшая сумма длин граней и
равна 27.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите множество значений выражения
при условии, что и
— положительные числа, удовлетворяющие неравенствам
.
Подсказка 1
Давайте попробуем достаточно грубо оценить дробь сверху. Что для этого можно сделать?
Подсказка 2
Попробуем уменьшить знаменатель и воспользоваться неравенством из условия.
Подсказка 3
Здорово, нашу дробь можно оценить сверху как a/(a+b). А как воспользоваться условием?
Подсказка 4
Докажем, что дробь может принимать любое значение в (0, 0.5). Для этого достаточно лишь явно выразить числа друг через друга, или, скажем, другую переменную t!
Так как и
положительные числа, то
. В то же время
Покажем, что произвольное число из интервала
входит в искомое множество.
При равенство
выполняется, если
. Заметим, что так как
, то
.
При можно положить
. Легко проверить, что в этом случае
. Итак, искомое множество есть
интервал
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник ; точка
на стороне
и точка
на стороне
таковы, что
. На луче
отмечена точка
, для которой
, а на прямой
- точка
, для которой
. Докажите, что
.
Подсказка 1
На картинке немало равных отрезков, а параллельность влечёт за собой равные углы. Что тогда хочется найти на рисунке?
Подсказка 2
Попробуем поискать подобные треугольники! Давайте отмечать равные углы ;)
Подсказка 3
Отлично, треугольники MNL и ALC подобны! Давайте тогда запишем равенства отношений их сторон, а затем преобразуем это так, чтобы воспользоваться равенствами отрезков из условия!
Подсказка 4
AL/AN = CL/CM. Настало время заменить отрезки на равные им ;)
Подсказка 5
Получается, что AL/AN = AK/AB. Давайте посмотрим на треугольники, в которых они расположены, и подумаем, что про них можно сказать ;)
Из равенств и
следует подобие треугольников
и
. Поэтому
и треугольник
подобен треугольнику
. Равенство
теперь следует из равенства
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Зная, что , определите, у скольких из чисел
десятичная запись начинается с
единицы.
Подсказка 1
Давайте подумаем о числах, которые нам надо найти. Хорошей идеей здесь будет рассмотреть не степени пятёрки, начинающиеся с единицы, а все остальные степени пяти. Как часто встречаются степени пятёрки, начинающиеся не с единицы?
Подсказка 2
Сколько таких чисел от 0 до 9? А от 10 до 99? А от 100 до 999? Какой можно сделать вывод о том, сколько среди k-значных чисел найдётся начинающихся не с единицы степеней пятёрки?
Подсказка 3
Верно, для любого натурального k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Осталось понять, а сколько существует таких k, что в нашем наборе есть k-число. Для этого подумаем, а сколько знаков имеет число 5¹⁰⁰?
Подсказка 4
Да уж, число действительно большое, и не понятно, как к нему подступиться. Давайте внимательно посмотрим на условие и найдём то, что мы еще не использовали. Зачем нам могли дать логарифм пяти по основанию 10?
Подсказка 5
Если мы возведём 10 в степень, равную данному логарифму, то получим 5. А если возведём в эту же степень 10¹⁰⁰, то получим 5¹⁰⁰. Гораздо легче понять, сколько знаков имеет степень десятки и с какой цифры она начинается:)
Десятичная запись числа , лежащего на отрезке
, состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства
начинается не с единицы.
Заметим, что при любом натуральном среди
-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы
степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора
начинаются с цифр, отличных от
единицы.
С единиц же начинаются записи остальных чисел.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый из 25 учеников 11 «А» класса дружит ровно с двумя учениками 11 «Б», а все ученики 11 «Б» имеют разные наборы друзей в 11 «А». Каким наибольшим может быть число учеников в 11 «Б»?
Подсказка 1
Будем рассуждать только о парах друзей из разных классов. Какую информацию нам дает первое предложение условия?
Подсказка 2
Именно, всего пар 50 штук. Теперь хочется как-то оценить количества друзей у ребят из Б и сделать оценку на количество пар уже с их стороны.
Подсказка 3
Пусть k человек из Б дружат ровно с 1 человеком. Что можно сказать про k? Что можно сказать про остальных?
Подсказка 4
На самом деле, k может быть не таким уж большим! А все остальные n-k человек (n - размер класса Б), быть может, кроме одного, дружат уже как минимум с двумя ребятами!
Каждых двух учеников, которые учатся в разных классах и дружат между собой, назовём смешанной парой. Поскольку каждый из 25 учеников 11 «А» входит ровно в две такие пары, то всего имеется 50 смешанных пар.
Пусть в 11 «Б» учится человек, причем ровно
из них имеют ровно по одному другу в 11 «А». Из условия задачи следует, что
Кроме того, в этом классе может найтись не более одного ученика, не имеющий друзей в 11 «А».
Каждый из остальных (если такой ученик один) или
(если таких учеников нет) учеников 11 «Б» входит по меньшей
мере в две смешанные пары. Значит, общее число смешанных пар больше или равно
Сложив неравенства и
получим
откуда
С другой стороны, построим пример, показывающий, что равенство возможно. Так как
то, подставив в неравенство,
найдем ограничение на
снизу:
Совмещая с ограничением сверху, получаем, что Возьмем
Пусть ученики класса «А» — это
а класса
«Б» —
Тогда распределение следующее:
- 1.
-
не дружит ни с кем.
- 2.
-
Каждый ученик
дружит с одним из
соответственно.
- 3.
-
Ученики с
по
(их ровно 12) дружат так:
— с
и
— с
и
и так далее. А так как в таком распределении
останется без второго друга, то просто сделаем
и
дружественной парой. Тогда у
будет три друга, но это не нарушает условие.