Тема Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2020

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела миссия выполнима - задания по годам
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70335

Для чисел x,y,z,t  из интервала (0;π )
   2 выполняется равенство

cos2x+ cos2y +cos2z +cos2t =4(cosxcosycoszcost− sin xsinysinz sint)

Докажите, что сумма некоторых двух из чисел x,y,z,t  равна сумме двух остальных.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать обе части, в идеале все разложить на множители ;) Но пока что части похожими совсем не выглядят. Какие преобразования существует для произведения двух косинусов (синусов)?

Подсказка 2

Произведение косинусов можно расписать в сумму косинусов суммы! А произведение косинусов можно расписать в разность косинусов суммы) Также подумаем, как левую часть привести к похожему виду)

Подсказка 3

Распишите левую часть уравнение по формуле суммы косинусов!

Подсказка 4

Отлично, теперь в обеих частях у нас есть cos(x+y), cos(x-y), cos(z+t), cos(z-t). Разумно попробовать разложить всё на множители!

Подсказка 5

Супер, получим совокупность равенств косинусов! Осталось лишь вспомнить условие задачи ;)

Показать доказательство

Воспользуемся формулами произведения косинусов и произведения синусов

4cosxcosycoszcost= (2cosxcosy)(2cosz cost)=

= (cos(x− y)+ cos(x+ y))⋅(cos(z − t)+cos(z+ t));

4sinxsin ysinzsint= (2sinxsiny)(2sinzsint)=

= (cos(x− y)− cos(x+ y))⋅(cos(z − t)− cos(z+ t));

Вычитая второе из первого, получаем

4(cosxcosycoszcost− sinxsinysinzsint)= 2cos(x− y)⋅(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Тогда исходное равенство примет вид

2cos(x+ y)⋅cos(x− y)+ 2cos(z +t)⋅cos(z − t)= 2cos(x − y)⋅cos(z+ t)+ 2cos(x+ y)⋅cos(z− t)

Сгруппируем

(cos(x+ y)− cos(z+ t))⋅(cos(x− y)− cos(z− t))= 0

[
  cos(x+y)= cos(z+ t)
  cos(x− y)= cos(z− t)

Так как x,y,z,t  из интервала (0;π),
   2  числа x +y,z+ t  из интервала (0;π),  на этом интервале косинус каждое значение принимает по одному разу, поэтому если равны косинусы, то равны и аргументы.

cos(x+ y)= cos(z +t) ⇐ ⇒  x +y =z +t

Так как x− y,z− t∈ (− π;π),
            2 2  возможны два случая:

                       [ x− y = z− t         [ x+ t=z +y
cos(x − y)= cos(z− t) ⇐⇒     x− y = −(z− t) ⇐⇒     x+ z = y+ t

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76732

На доске написаны все натуральные числа от 1  до 100.  Можно любую пару чисел x,y  заменять на xy − 29x− 29y +870.  Какое число останется после 99  таких операций?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, почему при изменении порядка произведения операций в итоге должно остаться одно и то же число. Скорее всего наша операция устроена как-то хитро. Вас не смущает какой-то намек на число 29?

Подсказка 2

Наша операция как-то сильно связана с числом 29. Может, при подстановке 29 будет что-то интересное. Попробуйте подставить пару (a, 29) и посмотреть, что получится...

Подсказка 3

Хммм... При такой подстановке функция выдает значение 29. Очевидно, что и при подстановке пары (29, а) значение будет также равняться 29. Какое же тогда число скорее всего останется в конце?

Подсказка 4

Верно, 29! Ведь если сейчас на доске есть число 29, то после применения операции оно также останется на доске. Т.к. изначально оно присутствует, то и в конце тоже.

Показать ответ и решение

Заметим, что xy− 29x− 29y+870= (x− 29)(y − 29)+29  . Если одно из пары заменяемых чисел x,y  равно 29  , то эта пара чисел заменяется на 29  . Следовательно, на доске всегда одно из чисел будет равно 29  . Именно это число останется после 99  рассматриваемых операций.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84144

В некотором регионе 60%  работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на 20%  ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выразить зарплату бюджетников через количество всех работающих и их среднюю зарплату. Какую долю от всех денег получают бюджетники?

Подсказка 2

Правильно, нужно 0.6 умножить на 0.8 — именно такую долю получают бюджетники. Тогда какую долю от средней зарплаты по всем работникам получают не бюджетники?

Подсказка 3

Итак, мы знаем, какую долю от средней зарплаты получают не бюджетники, тогда теперь нужно в процентах от доли бюджетников выразить разность между их долей средней зарплаты и долей не бюджетников, и мы получим ответ!

Показать ответ и решение

Пусть n  - число всех работающих, s− их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно 0,6n  , а их средняя зарплата равна 0,8s  . Зарплата всех бюджетников равна 0,6n⋅0,8s= 0,48ns  . Средняя зарплата остальных 0,4n  работающих равна

ns− 0,48ns
--0,4n----=1,3s.

Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с 0,8s  до   1,3s  , то есть на

1,3s-− 0,8s ⋅100% =62,5%.
   0,8s
Ответ:

на 62,5%  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108623

Длины диагоналей граней ABCD, ABB  A
          1 1  и ADD A
    1 1  параллелепипеда ABCDA  B C D
      1  11  1  выражаются различными целыми числами. Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии можно зацепиться за целочисленность и различие диагоналей. Давайте попробуем их как-то оценить!

Подсказка 2

Подумайте, насколько маленькими могут быть указанными диагоналями?

Подсказка 3

Возьмите какую-то из указанных диагоналей и оцените её при помощи неравенства треугольника для некоторой грани.

Подсказка 4

Докажите, что длина каждой из указанных диагоналей хотя бы 2.

Показать ответ и решение

PIC

Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство AB1 = 1  , поскольку в треугольнике AB1D1  (сторона B1D1  которого равна BD  ) должно выполняться неравенство

AB1 >|AD1− B1D1|≥ 1.

Аналогично доказывается для диагоналей граней ABCD  и ADD1A1  .

Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2.

Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны 2,3,4,5,6  и 7.  Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:

AB1 = 2, AC =4,  AD1 = 6, A1B = 3, A1D =5, BD =7.

PIC

Таким образом, наименьшая сумма длин граней ABCD, ABB1A1  и ADD1A1  равна 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#108624

Найдите множество значений выражения

----ac---
ab+ ac+bc

при условии, что a,b  и c  — положительные числа, удовлетворяющие неравенствам a≤ b≤ c  .

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем достаточно грубо оценить дробь сверху. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем уменьшить знаменатель и воспользоваться неравенством из условия.

Подсказка 3

Здорово, нашу дробь можно оценить сверху как a/(a+b). А как воспользоваться условием?

Подсказка 4

Докажем, что дробь может принимать любое значение в (0, 0.5). Для этого достаточно лишь явно выразить числа друг через друга, или, скажем, другую переменную t!

Показать ответ и решение

Так как a,b  и c− положительные числа, то --ac--> 0
ab+ac+bc  . В то же время

    ac       ac     a     a    1
ab+-ac+bc < ac+-bc = a+-b ≤ a+-a = 2.

Покажем, что произвольное число t  из интервала (  )
0;12 входит в искомое множество.

При 0< t≤ 13  равенство ab+aacc+bc = t  выполняется, если a= 1t−2t,b= c= 1  . Заметим, что так как t≤ 13  , то a= 1−t2t ≤ 1  .

При 13 ≤t< 12  можно положить a= b= 1,c = 1−t2t-  . Легко проверить, что в этом случае c= 1t−2t ≥1  . Итак, искомое множество есть интервал (  )
 0;12 .

Ответ:

(0;1 )
  2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#108625

Дан треугольник ABC  ; точка K  на стороне AB  и точка L  на стороне BC  таковы, что AK = KL = LC  . На луче CB  отмечена точка M  , для которой CM  =AB  , а на прямой AL  - точка N  , для которой MN ∥ AC  . Докажите, что BN = AB  .

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На картинке немало равных отрезков, а параллельность влечёт за собой равные углы. Что тогда хочется найти на рисунке?

Подсказка 2

Попробуем поискать подобные треугольники! Давайте отмечать равные углы ;)

Подсказка 3

Отлично, треугольники MNL и ALC подобны! Давайте тогда запишем равенства отношений их сторон, а затем преобразуем это так, чтобы воспользоваться равенствами отрезков из условия!

Подсказка 4

AL/AN = CL/CM. Настало время заменить отрезки на равные им ;)

Подсказка 5

Получается, что AL/AN = AK/AB. Давайте посмотрим на треугольники, в которых они расположены, и подумаем, что про них можно сказать ;)

Показать доказательство

Из равенств ∠MLN  =∠ALC  и ∠MNL  =∠CAL  следует подобие треугольников MNL  и CAL  . Поэтому AL :AN = CL:CM  =AK  :AB,  и треугольник ABN  подобен треугольнику AKL  . Равенство BN = AB  теперь следует из равенства KL = AK  .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#108626

Зная, что 0,698< lg5 <0,699  , определите, у скольких из чисел 1,5,25,...,5n,...,5100  десятичная запись начинается с единицы.

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о числах, которые нам надо найти. Хорошей идеей здесь будет рассмотреть не степени пятёрки, начинающиеся с единицы, а все остальные степени пяти. Как часто встречаются степени пятёрки, начинающиеся не с единицы?

Подсказка 2

Сколько таких чисел от 0 до 9? А от 10 до 99? А от 100 до 999? Какой можно сделать вывод о том, сколько среди k-значных чисел найдётся начинающихся не с единицы степеней пятёрки?

Подсказка 3

Верно, для любого натурального k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Осталось понять, а сколько существует таких k, что в нашем наборе есть k-число. Для этого подумаем, а сколько знаков имеет число 5¹⁰⁰?

Подсказка 4

Да уж, число действительно большое, и не понятно, как к нему подступиться. Давайте внимательно посмотрим на условие и найдём то, что мы еще не использовали. Зачем нам могли дать логарифм пяти по основанию 10?

Подсказка 5

Если мы возведём 10 в степень, равную данному логарифму, то получим 5. А если возведём в эту же степень 10¹⁰⁰, то получим 5¹⁰⁰. Гораздо легче понять, сколько знаков имеет степень десятки и с какой цифры она начинается:)

Показать ответ и решение

Десятичная запись числа 5100 = 10100lg5  , лежащего на отрезке [1069.8;1069.9] , состоит из 70 цифр и, вследствие неравенства

  0.8  69      69
10  ⋅10  > 2⋅10

начинается не с единицы.

Заметим, что при любом натуральном k  среди k  -значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Поэтому записи ровно 70 чисел из набора {1,5,25,...,5n,...5100} начинаются с цифр, отличных от единицы.

С единиц же начинаются записи остальных 101 − 70= 31  чисел.

Ответ: у 31 числа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#108627

Каждый из 25 учеников 11 «А» класса дружит ровно с двумя учениками 11 «Б», а все ученики 11 «Б» имеют разные наборы друзей в 11 «А». Каким наибольшим может быть число учеников в 11 «Б»?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем рассуждать только о парах друзей из разных классов. Какую информацию нам дает первое предложение условия?

Подсказка 2

Именно, всего пар 50 штук. Теперь хочется как-то оценить количества друзей у ребят из Б и сделать оценку на количество пар уже с их стороны.

Подсказка 3

Пусть k человек из Б дружат ровно с 1 человеком. Что можно сказать про k? Что можно сказать про остальных?

Подсказка 4

На самом деле, k может быть не таким уж большим! А все остальные n-k человек (n - размер класса Б), быть может, кроме одного, дружат уже как минимум с двумя ребятами!

Показать ответ и решение

Каждых двух учеников, которые учатся в разных классах и дружат между собой, назовём смешанной парой. Поскольку каждый из 25 учеников 11 «А» входит ровно в две такие пары, то всего имеется 50 смешанных пар.

Пусть в 11 «Б» учится n  человек, причем ровно k  из них имеют ровно по одному другу в 11 «А». Из условия задачи следует, что k ≤25.

Кроме того, в этом классе может найтись не более одного ученика, не имеющий друзей в 11 «А».

Каждый из остальных n− k− 1  (если такой ученик один) или n− k  (если таких учеников нет) учеников 11 «Б» входит по меньшей мере в две смешанные пары. Значит, общее число смешанных пар больше или равно k+ 2(n − k − 1)= 2n− k− 2.

Сложив неравенства 2n − k− 2≤ 50  и k≤ 25,  получим 2n− 2≤ 75,  откуда n ≤38.

С другой стороны, построим пример, показывающий, что равенство n= 38  возможно. Так как n= 38,  то, подставив в неравенство, найдем ограничение на k  снизу:

2⋅38− k− 2 ≤50

Совмещая с ограничением сверху, получаем, что 24≤ k≤ 25.  Возьмем k =25.  Пусть ученики класса «А» — это a1,a2,...a25,  а класса «Б» — b1,b2,...b38.  Тогда распределение следующее:

1.

b1  не дружит ни с кем.

2.

Каждый ученик b2,b3,...b26  дружит с одним из a1,a2,...a25  соответственно.

3.

Ученики с b27  по b38  (их ровно 12) дружат так: b27  — с a1  и a2,  b28  — с a3  и a4,  и так далее. А так как в таком распределении a25  останется без второго друга, то просто сделаем a25  и b38  дружественной парой. Тогда у b38  будет три друга, но это не нарушает условие.

Ответ: 38
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!