Миссия выполнима 2020

Подсказка 1

Давайте подумаем о числах, которые нам надо найти. Хорошей идеей здесь будет рассмотреть не степени пятёрки, начинающиеся с единицы, а все остальные степени пяти. Как часто встречаются степени пятёрки, начинающиеся не с единицы?

Подсказка 2

Сколько таких чисел от 0 до 9? А от 10 до 99? А от 100 до 999? Какой можно сделать вывод о том, сколько среди k-значных чисел найдётся начинающихся не с единицы степеней пятёрки?

Подсказка 3

Верно, для любого натурального k среди k-значных чисел имеется ровно одна начинающаяся не с единицы степень пятёрки. Осталось понять, а сколько существует таких k, что в нашем наборе есть k-число. Для этого подумаем, а сколько знаков имеет число 5¹⁰⁰?

Подсказка 4

Да уж, число действительно большое, и не понятно, как к нему подступиться. Давайте внимательно посмотрим на условие и найдём то, что мы еще не использовали. Зачем нам могли дать логарифм пяти по основанию 10?

Подсказка 5

Если мы возведём 10 в степень, равную данному логарифму, то получим 5. А если возведём в эту же степень 10¹⁰⁰, то получим 5¹⁰⁰. Гораздо легче понять, сколько знаков имеет степень десятки и с какой цифры она начинается:)