Описанная сфера

1. Нахождение высоты пирамиды

Пусть дана правильная треугольная пирамида с вершиной и центром основания Центр вписанной сферы лежит на её высоте Пусть — середина ребра основания Тогда — апофема пирамиды. Рассмотрим осевое сечение которое является равнобедренным треугольником. В этом сечении круг, являющийся сечением вписанной сферы, вписан в угол Этот угол образован апофемой пирамиды и радиусом вписанной в основание окружности

Пусть — радиус вписанной сферы, — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, и — двугранный угол при ребре основания. Они связаны соотношением

Подставим известные значения:

Отсюда находим :

Теперь найдем по формуле двойного угла:

Вычислим :

Подставим в формулу для :

Высота пирамиды связана с и углом через тот же треугольник в сечении:

2. Нахождение радиуса описанной сферы

Центр описанной сферы также лежит на высоте пирамиды. Радиус описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле

где — радиус окружности, описанной около основания.

Основание пирамиды — правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности :

Мы получили, что Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. В этом случае радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около основания.

Проверим это, подставив в общую формулу для :

Итак,