Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .14 ДВИ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73449

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?

Подсказка 2

Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?

Подсказка 3

х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?

Подсказка 5

По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?

Подсказка 6

Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82296

Найти все $k,$ такие что неравенство

3 3 3 a +b + c +6≥ k(a+b+ c)

справедливо при всех $a,b,c≥− 2.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что если попробовать «загнать» в рамки k? Давайте найдем такие a, b, c, чтобы k был в очень маленьком диапазоне (или даже единственным).

Подсказка 2

Рассмотрите граничный случай: a=b=c=-2. А теперь возьмём ещё удобные значения: a=b=c=1. Каким тогда может быть k?

Подсказка 3

k = 3. Как тогда красиво можно сгруппировать слагаемые, чтобы доказать, что оно верно при таком k?

Подсказка 4

Попробуйте сгруппировать слагаемые так, чтобы в одной скобке были слагаемые с одной и той же буквой.

Показать ответ и решение

При $a= b= c= −2$ неравенство выполнено, если

− 8− 8 − 8+ 6≥ −6k ⇐⇒ k≥ 3

При $a= b= c= 1$ неравенство выполнено, если

1+1 +1+ 6≥ 3k ⇐⇒ k≤ 3

Поэтому никакие значения, кроме $k= 3$ , подойти не могут. Проверим, верно ли неравенство при $k = 3:$

a3+ b3+c3+ 6≥ 3(a+ b+ c)?

(a3 − 3a+ 2)+(b3− 3b+ 2)+(c3− 3c+ 2)≥0?

Это неравенство верно, поскольку каждое из трёх слагаемых неотрицательно: $x3− 3x +2 =(x− 1)2(x+ 2)≥ 0$ при $x ≥− 2.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89774

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89775

Возрастающая геометрическая прогрессия $a ,a,a ,... 1 2 3$ удовлетворяет условиям $a − a =3 3 1$ , $a − a = 60 7 3$ . Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть q — знаменатель прогрессии. Выразите а₃ и а₇ через а₁ и q, а затем запишите через а₁ и q данные в условии уравнения.

Подсказка 2

Второе уравнение можно аккуратно разложить на множители, не возникает ли при этом явного сходства каких-то множителей с первым уравнением? Подставьте эти множители во второе уравнение!

Подсказка 3

Если всё сделано верно, то у вас получится биквадратное уравнение относительно q, решите его! Все ли полученные решения удовлетворяют условию о возрастании прогрессии?

Подсказка 4

Теперь, когда установлены а₁ и q, мы можем записать сумму!

Показать ответ и решение

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

{ a (q2− 1)= 3, a1(q6− q2)= 60 1

Второе уравнение равносильно

aq2(q2− 1)(q2+ 1) =60. 1

Учитывая первое уравнение, получаем $q4+ q2− 20= 0,$ то есть

(q2+ 5)(q2 − 4)= 0,

откуда $q2 = 4.$ Стало быть, $q =2,$ ибо $q = −2$ противоречит возрастанию прогрессии.

Подставляя $q = 2$ в любое из двух уравнений, получаем $a1 = 1.$ Стало быть, $an = 2n−1$ для любого $n ≥1,$ то есть искомая сумма равна

1+2 +22+ 23+...+26 = 27− 1=127.

Ответ:

$127$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#89776

Решите неравенство

∘ -2--- logx2− 1(x− 1)≥logx2−1 x-+ 1. 2

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Перекиньте все в одну сторону и воспользуйтесь методом рационализации. Не забудьте пересечь результат с ОДЗ, и задачка убита)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 1> 0 |||{ 2 | x − 1⁄= 1 |||( xx−2 1> 0 2 +1> 0

{ x >1 x ⁄=√2-

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(x2− 1− 1)((x− 1)2 − (x2+ 1)) ≥ 0 2

√ - √- (x − 2)(x+ 2)x(x− 4)≥0

По методу интервалов решаем неравенство и пересекаем с ОДЗ:

√- x∈ (1; 2)∪ [4;+∞)

Ответ:

$(1;√2-)∪[4;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89777

Решите уравнение

tg-2x-+2cosx tg 2x − 2cosx = 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите ОДЗ. Чтобы сократить себе труд по решению уравнения "знаменатель = 0", попробуйте записать двойное равенство: "знаменатель" = "числитель" = 0. Сделайте из этого вывод: в каком случае у числителя и знаменателя есть общие корни, то есть какие из корней числителя не подходит под ОДЗ?

Подсказка 2

Приравняем к нолю числитель: тангенс двойного угла можно записать как отношение синуса к косинусу. После этого приведите выражение к общему знаменателю.

Подсказка 3

Распишите синус двойного угла по известной формуле, тогда можно будет вынести общий множитель, какой он?

Подсказка 4

В скобках осталось выражение, зависящее от sin(x) и от двойного угла, что с ним ещё можно сделать? Попробуйте раскрыть синус двойного угла по формуле!

Подсказка 5

Осталось приравнять к нулю получившиеся множители, проверить их на соответствие ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Выражения $tg 2x +2cosx$ и $tg2x − 2cosx$ отличаются на $4cosx$ , стало быть, если они одновременно равны нулю, то $cosx= 0$ . Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $tg2x+$ $2cosx$ , из которого исключены нули $cosx$ . Преобразуем это выражение:

2cosx(sinx +cos2x) tg2x +2cosx= ------cos2x----- =

( 2 ) ( 1) = −2cosx-2sin-x−-sinx−-1-= −4cosx(sinx−-1)-sinx-+2-. cos2x cos2x

Если $sinx =1$ , то $cosx= 0$ , стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $sinx+ 12$ , из которого исключены нули $cos2x$ . Ho $sin x+ 12$ и $cos2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $sinx= − 12$ , то $cos2x= 1− 2sin2x= 12$ . Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $sinx =− 12$ . То есть $x= (−1)k π6+$ $(k+ 1)π,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(−1)kπ+ π(k +1), k∈ ℤ 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89778

Вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $F.$ Найдите $sin∠CBD,$ если известно, что $√-- sin∠CAF = 1∕ 10.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для нашего удобства обозначим CD = x, BF = y, AD = z. Также отметим, что E — точка касания окружности с гипотенузой треугольника. Какие равенства можно записать в первую очередь?

Подсказка 2

Помним, что отрезки касательных из одной точки равны, и записываем теорему Пифагора! Получится довольно интересное уравнение, в котором так и захочется привести подобные…а как использовать синус?

Подсказка 3

Приведя подобные слагаемые, мы приходим к тому, что x/y * x/z + x/y + x/z = 1. Тут есть одинаковые множители, которые так и хочется вынести)

Подсказка 4

(x/y + 1)(x/z + 1) = 2. Осталось лишь понять, как же нам выразить z через x, а в этом нам поможет условие, а именно — тангенс известного угла!

Показать ответ и решение

Положим $CD = x,BF = y,AD =z$ . Тогда $CF = x,BE = y,AE =z$ , где $E−$ точка касания окружности с гипотенузой.

$PIC$

По теореме Пифагора $(x+ y)2 +(x+ z)2 = (y+ z)2$ .

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем $x2 +xy+ xz = yz$ или, что то же самое,

x⋅ x + x+ x =1. y z y z

Раскладывая на множители, получаем

( x )(x ) y + 1 z +1 =2.

По условию $√-- sin∠CAF =1∕ 10$ . Тогда $√ -- cos∠CAF = 3∕ 10$ и $tg ∠CAF = 1∕3$ . Стало быть, $x∕(x+ z)= 1∕3$ , откуда $z =2x$ .

Подставляя $x 1 z =2$ в полученное выше соотношение, получаем $y = 3x$ . Тогда $tg ∠CBD = 1∕4$ , откуда $√ -- sin∠CBD = 1∕ 17$ .

Ответ:

$√-1- 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89779

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

abc =(a− 1)(b− 1)(c− 1).

Найдите наименьшее возможное значение выражения $a2+ b2+c2$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте раскрыть скобки для выражения, данного в условии

Подсказка 2

А теперь стоит расписать a²+b²+c² так, чтобы можно было воспользоваться полученным в первом пункте (то есть чтобы появилось выражение вида ab+bc+ac) после чего попробуйте выделить полный квадрат!

Подсказка 3

После выделения полного квадрата мы сразу видим оценку снизу на интересующее нас выражение, а значит осталось привести пример!

Показать ответ и решение

В данном в условии соотношении раскроем скобки

abc= abc− ab− bc− ac+a +b+ c− 1.

ab+ bc+ac= a+ b+ c− 1.

Стало быть,

a2+b2+ c2 = (a+ b+ c)2− 2(ab+ bc+ac)=

= (a+b +c)2 − 2(a+ b+c− 1)=(a+ b+ c− 1)2+ 1≥1.

При этом равенство достигается при $a+b+ c= 1$ , например, при $a =b= 0$ и $c= 1$ . Нетрудно заметить, что при таких значениях $a,b,c$ равенство, данное в условии, имеет место. Стало быть, наименьшее значение выражения $a2+b2+ c2$ равно 1 .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89780

Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно $√6$ , высота пирамиды равна $√7-$ . Плоскость $π$ перпендикулярна одному из рёбер пирамиды и делит его в отношении $1:2$ , считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость $π$ делит объём пирамиды.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть SABC — данная пирамида, плоскость π будем строить перпендикулярно ребру SA. Что можно сказать о рёбрах SA и BC? Какой вывод из этого можно сделать относительно π и ВС?

Подсказка 2

π || BC, что тогда можно сказать о пересечении плоскостей π и (SBC)? Достройте сечение, пользуясь тем, что SA ⊥ π, а значит и любой прямой, находящейся в этой плоскости

Подсказка 3

Чтобы найти отношение объёмов исходной пирамиды и пирамиды, отсечённой плоскостью π, удобно взять за основание треугольники △BSC и треугольник, отсекаемый плоскостью π при пересечении с гранью SBC.

Показать ответ и решение

Обозначим через $A,B,C,S$ вершины пирамиды, так что $ABC$ — ее основание, а плоскость $π$ перпендикулярна ребру $SA$ .

Поскольку $π ⊥ SA$ и $BC ⊥ SA$ , имеем $π ∥ BC$ . Стало быть, $π$ пересекает плоскость $BCS$ по прямой, параллельной $BC$ , и делит ребра $SB$ и $SC$ (или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.

Обозначим через $H$ основание высоты пирамиды и через $M$ — середину ребра $BC$ . Тогда

AB√3- 3√- AM = --2--= 2 2;

AH = 2AM = √2. 3

Пусть $K$ — точка пересечения $π$ и $SA,L$ — точка пересечения $π$ с прямой $AM, N$ — точка пересечения прямых $LK$ и $SM$ . Тогда $AK = 2KS$ , причем $∠AKL =90∘.$

$PIC$

Из подобия треугольников $ALK$ и $ASH$ получаем:

2√---2----2 √---A2H----2 = 3-AH-+-SH-, AH + SH AL

откуда

2 AL = 3(2√+-7)-=3√2-= 2AM. 2

Итак, $M$ — середина $AL$ . Обозначим через $P$ середину $AK$ . Тогда $LK∥MP$ , откуда $SN =$ $NM$ , ибо $SK = KP$ .

Таким образом, плоскость $π$ проходит через середины ребер $SB$ и $SC$ . Следовательно, $π$ отсекает от пирамиды $ABCS$ пирамиду, объем которой равен

1 1 1 VABCS 3 ⋅2 ⋅2 ⋅VABCS =-12-

То есть $π$ делит объем исходной пирамиды в отношении $1 :11.$

Ответ: 1 : 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89916

Прямая $ℓ$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$ , в точке $A$ . Известно, что $AB > AC$ и что $AC = 1$ . На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AD = AC$ . Прямая, проходящая через точку $D$ и через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , пересекает прямую $ℓ$ в точке $E$ . Найдите длину отрезка $AE$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно вывести из того, что точка I, центр вписанной окружности △ABC, лежит на DE? Как можно это связать с равенством AD и AC?

Подсказка 2

Углы ∠ADI и ∠ACI равны половине ∠B! А как воспользоваться тем, что AE — касательная?

Подсказка 3

Углы ∠CAE и ∠ABC также равны! Теперь у нас на картинке достаточно много равных углов, но всё еще не посчитан ∠AED…так сделаем же это!

Показать ответ и решение

Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Поскольку $AD =AC$ , точка $I$ лежит и на биссектрисе, и на высоте треугольника $ADC$ . Следовательно,

1 ∠ADI =∠ACI = 2∠ACB.

$PIC$

Так как $ℓ−$ касательная, то $∠EAC = ∠ABC$ , а отсюда

∠AED +∠ADE =180∘− ∠DAE = 180∘− (∠DAC +∠EAC )=

= 180∘− (∠BAC + ∠ABC) =∠ACB =2∠ACI = 2∠ADE.

Стало быть, $∠AED =∠ADE$ , то есть треугольник $AED$ равнобедренный и $AE = AD = AC =1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89917

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. На его диагонали $AC$ отмечена точка $E$ , а на продолжении этой диагонали за точку $C$ отмечена точка $F$ таким образом, что $∠ADE =∠CBF.$ Найдите угол $∠CDF$ , если известно, что $∘ ∠ABE = 15 .$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то поотмечать равные углы. Притом хочется, чтобы эти углы как-то были связаны с равными углами ADE и CBF. Что можно вывести из того, что ABCD — вписанный?

Подсказка 2

Углы ADB и ACB равны! Что можно вывести из этого?

Подсказка 3

Заметим, что из равенств углов ACB и ADB, а также FBC и EDA, следует, что углы BFC и BDE тоже равны! Как это использовать в дальнейшем?

Подсказка 4

Четырехугольник EBFD вписанный! Попробуем внимательно посмотреть на картинку. А на два вписанных четырехугольника, причем в одном из них часть угла равна 15. Как можно связать углы этих четырехугольников?

Подсказка 5

Вспоминаем, что во вписанных четырехугольниках сумма противоположных углов равна 180! Осталось лишь понять, как воспользоваться этим при нахождении угла CDF — части угла EDF.

Показать ответ и решение

$PIC$

Углы $∠ADB$ и $∠ACB$ равны как опирающиеся на одну дугу. При этом $∠ADB =$ $∠ADE +∠EDB$ и $∠ACB =∠CBF +∠CF B$ . Поскольку по условию $∠ADE = ∠CBF$ , получаем $∠EDB = ∠CFB$ . Отсюда следует, что четырёхугольник $BFDE$ вписанный. В частности, $∠BEF = ∠BDF$ . При этом $∠BEF =∠BAE +∠ABE$ и $∠BDF =∠BDC +∠CDF$ . Поскольку углы $∠BAE (=∠BAC )$ и $∠BDC$ равны как опирающиеся на одну дугу, получаем $∠CDF = ∠ABE = 15∘$ .

Ответ:

$15∘$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89918

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BD$ и $CE$ . На $DE$ как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает отрезки $AE$ и $AD$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите длину отрезка $FG,$ если известно, что $BC = 25,BD =20$ и $BE = 7.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны какие-то стороны в прямоугольных треугольниках, так что сразу хочется найти оставшиеся стороны в них ;) что еще хочется сказать о прямоугольных треугольниках на картинке? Как связать их стороны?

Подсказка 2

Находим, что CD = 15, CE = 24. Рассматривая треугольники, в которых они состоят, замечаем, что треугольники ABD и ACE подобны! Какие полезные соотношения можно из этого вывести?

Подсказка 3

AD/AE = 5/6 = (AE+7)/(AD+15). Видим, что из этого можем найти AD и AE! Какие выводы можно сделать из их длин?

Подсказка 4

AD=15, AE=18. Интересно, у нас появились равнобедренные треугольники ;) А что можно вывести из того, что малая окружность построена на DE как на диаметре?

Подсказка 5

Треугольник EDA — равнобедренный, и в нем DF — высота. Нам хочется как-то подобраться к подобию треугольника AFG с кем-то, чтобы найти нужный отрезок. Стало быть нужно посчитать углы… для этого не забываем, что при проведении высот образуется несколько вписанных четырехугольников ;)

Показать ответ и решение

Из прямоугольных треугольников $BCD$ и $BCE$ получаем $CD = √252−-202 =15$ и $CE = √252− 72 = 24$ .

$PIC$

Из подобия прямоугольных треугольников $ABD$ и $ACE$ получаем

AD-= BD-= 20= 5 и AE-+-7-= AB-= BD-= 5. AE CE 24 6 AD +15 AC CE 6

Из этих двух соотношений на $AD$ и $AE$ получаем $AD = 15,AE = 18$ . Таким образом, $AD = DC$ , откуда $ED = AD$ , то есть треугольник $AED$ равнобедренный. Поскольку же $DE$ — диаметр окружности, $DF ⊥AE$ , то есть $DF$ — высота и медиана треугольника $AED$ . Стало быть, $AF = 1AE = 9 2$ . Наконец, отметим, что четырёхугольники $BCDE$ и $EDGF$ вписанные, откуда следует, что $∠ABC = ∠ADE = ∠AFG$ . Значит, $FG∥BC$ , то есть треугольники $ABC$ и $AFG$ подобны. Но, как мы отметили выше, $AD = DC$ . Отсюда следует, что $BC = AB$ и, стало быть, $F G= AF = 9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90017

Решите неравенство

√ --- log 3−x(3+ x)≤2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте избавимся от иррациональности в основании логарифма. Нам достаточно поделить левую и правую части неравенства на 2 и внести 1/2 в основание логарифма. Что дальше можно сделать?

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам добить задачу окончательно!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство равносильно

log3− x(3+ x)≤ log3−x(3− x)

По методу рационализации это равносильно

(| 3 − x >0 |||{ 3 − x ⁄=1 | 3 +x >0 |||( (3− x− 1)(3+ x− 3 +x)≤ 0

(|{ −3< x< 3 x⁄= 2 |( (2− x)x≤ 0

По методу интервалов получаем ответ $x∈ (− 3;0]∪(2;3)$ .

Ответ:

$(−3;0]∪ (2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90018

Решите неравенство

x logxlog3(2 − 1)≥ 0.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем представить 0 как логарифм с основанием x и аргументом 1 и применить метод рационализации.

Подсказка 2

Теперь снова повторим сходные действия: представим 1 как логарифм с основанием 3 и таким же аргументом и применим метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

При $0< x< 1$ получаем, что

x 0< log3(2 − 1)≤ 1

x 1 <2 − 1≤ 3

1< x< 2

решения неравенства не входят в рассматриваемый промежуток.

При $x> 1$ получаем

log3(2x− 1)≥1

2x− 1 ≥3

x≥ 2

и записываем это в ответ.

Ответ:

$[2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90020

Решите неравенство

√ -3+log x 1+log x ( x) 3 ≥ 3 3 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем упростить неравенство: как можно получить одинаковые основания? Заменим √х на 3 в некоторой степени по основному логарифмическому тождеству.

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам перейти к сравнению степеней, какую замену теперь можно сделать?

Подсказка 3

Пусть t = log₃(x), остаётся лишь решить обычное квадратное неравенство. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

По основному логарифмическому тождеству и свойствам степеней получаем

log(√x)⋅(3+log x) 1+logx 3 3 3 ≥ 3 3

В силу возрастания показательной функции с основанием 3 неравенство равносильно

log (√x)⋅(3 +log x)≥ 1+ log x 3 3 3

По свойствам логарифмов это эквивалентно

log x ⋅(3+ log x)≥ 2(1+ log x) 3 3 3

После замены $t= log3x$ получаем неравенство

t2+ t− 2≥0

t ≥1 или t≤− 2

После обратной замены

1 x≥ 3 или 0< x≤ 9

Ответ:

$(0;1 ]∪[3;+∞ ) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90037

Решите уравнение

cosx−-cos3x- 2cos2x+ cosx+ cos3x = 2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 236, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сделать с суммой и разностью косинусов во втором слагаемом? Попробуйте применить формулы преобразования суммы в произведение.

Подсказка 2

На этом этапе удобно записать и решить ограничения!

Подсказка 3

Получившееся после преобразования уравнения второе слагаемое, удобно записать через тангенсы. А как нам выразить через тангенс косинус двойного угла?

Подсказка 4

Чтобы cos(2x) выразить через тангенс, удобно воспользоваться формулой косинуса двойного угла, а затем вспомнить, что 1 + tg²(α) = 1/cos²α, выразите отсюда косинус и подставьте в исходное уравнение.

Подсказка 5

Осталось воспользоваться формулой для tg(2x) и мы получим рациональное уравнение относительно tg(x). Решите его и не забывайте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Применим формулы суммы и разности косинусов:

cosx− cos3x= −2sin 2x sin(−x)= 2sin2xsinx

cosx+ cos3x= 2cos2xcosx

Преобразуем равенство из условия:

2cos2x+ sin2xsinx-= 2 cos2xcosx

Запишем ОДЗ:

2cos2xcosx⁄= 0

{ x ⁄= π2 + πk,k ∈ℤ x ⁄= π4 + πn2 ,n∈ ℤ

Продолжим преобразования равенства из условия:

2cos2x+ tg2x⋅tgx =2

Применим формулу косинуса и тангенса двойного угла:

2tg2x 2(2cos2x − 1)+ 1−-tg2x-= 2

Сократим равенство на $2$ и вспомним, что $cos2x= tg12x+1.$

2 --22---− 1+ -tg-x2--=1 tg x+ 1 1− tg x

2(tg2x-− 1)−-tg2x(tg2x-+1) tg4x − 1 = 2

− tg4x +tg2x− 2 ----tg4x-− 1---= 2

−-3tg4x-+tg2x= 0 tg4x − 1

(| tg4x− 1⁄= 0 |||{ ⌊ tgx= 0 | || tgx= √1- |||( ⌈ 31√- tgx= − 3

С учетом ОДЗ получаем ответ:

⌊ x =πk |⌈ x = π + πk x =−6π+ πk 6

Ответ:

$πk;±π + πk; k∈ ℤ 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90039

Решите неравенство

log √x x 3 > 9.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 231, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте подумаем, что можно сделать? Как можно изменить неравенство? Может быть что-то сделать с основанием х?

Подсказка 2:

Пусть t равен логарифму по основанию 3 от х. Тогда можем заменить x в основании на 3^t, а степень на t/2. Что теперь можно сделать?

Подсказка 3:

Применим метод рационализации, представим 9 справа как 3². Тогда получим t² > 4. Найдём t и сделаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения:

x> 0

Прологарифмируем неравенство

log xlog3√x-> log 9 ⇐⇒ log √x ⋅logx > 2 3 3 3 3

2log3√x-⋅log3−4> 0 ⇐⇒ log23x− 4> 0

( ) (log3x− 2)(log3x+ 2)> 0 =⇒ (x− 9) x − 1 > 0 9

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем, что

( ) x∈ 0;1 ∪ (9;+∞ ) 9

Ответ:

$x ∈(0;1) ∪(9;+ ∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90040

Решите неравенство

( 2 )x2− 3x 3x − 3x +1 ≤1.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 235, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: у него отрицательный дискриминант, оно меньше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда! Какой следующий шаг можно сделать?

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобках в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

2 3x − 3x +1 >0 =⇒ x∈ ℝ

Представим правую часть как $3x2 − 3x+ 1$ в нулевой степени.

(3x2− 3x+ 1)x2−3x− (3x2− 3x+ 1)0 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации.

{ f g (a− 1)(f − g) ≤0 a − a ≤0 =⇒ ОД З

Тогда получаем

(3x2− 3x+ 1− 1)(x2− 3x)≤ 0 ⇐⇒ 3x2(x− 1)(x− 3) ≤0

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

x ∈{0}∪[1;3]

Ответ:

$x ∈{0}∪[1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90273

Из точки $E$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ опущены перпендикуляры $EK, EL,EM,EN$ на его стороны $AB,BC,CD,AD$ соответственно, причём основания перпендикуляров принадлежат соответствующим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника $KLMN,$ если известно, что $KL = 5,MN = 3,$ а расстояние от точки $E$ до прямой $LM$ равно $√ - 3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

После построения перпендикуляров из точки E, на картинке образовалось много четырехугольников и прямых углов. Быть может, можно заметить что-то полезное благодаря этому?

Подсказка 2

Что можно сказать, например, о четырехугольнике ENAK?

Подсказка 3

Он вписанный! Смотрите-ка, у нас появилось 4 вписанных четырехугольника ;) давайте тогда отметим равные углы, вытекающие из этого! А еще надо вспомнить условие на ABCD…

Подсказка 4

ABCD тоже вписанный! Отметив все равные углы, приходим к выводу: углы ∠ENK, ∠BAC, ∠BDC, ∠MNE равны! Что тогда можно сказать о EN?

Подсказка 5

Это биссектриса угла MNK! А какое свойство биссектрисы связано с перпендикулярами?

Подсказка 6

Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла! Тогда воспользуемся этим при вычислении длин перпендикуляров) А что тогда можно сказать о точке E?

Подсказка 7

Точка E — это центр окружности, вписанной в четырехугольник MNKL! А какая у нас есть удобная формула площади для такого четырехугольника?

Подсказка 8

S = p*r, где p — периметр, а r — радиус вписанной окружности!

Показать ответ и решение

Поскольку $∠AKE = ∠ANE = 90∘,$ четырёхугольник $AKEN$ вписанный и $∠ENK =∠EAK$ как опирающиеся на одну дугу. Аналогично, $∠MNE = ∠MDE.$

По условию $ABCD$ — вписанный, поэтому $∠BAC = ∠BDC.$ Отсюда,

∠ENK = ∠BAC = ∠BDC =∠MNE.

Следовательно, $NE$ — биссектриса угла $MNK,$ то есть точка $E$ равноудалена от $NK$ и $MN.$ Аналогично, точка $E$ равноудалена от всех сторон четырёхугольника $KLMN,$ то есть является центром вписанной в него окружности.

$PIC$

Получается, $KLMN$ — описанный, а суммы длин противоположных сторон описанного четырёхуголька равны. Значит, периметр $KLMN$ равен $2(KL +MN )=16.$ Радиус же описанной окружности равен расстоянию от точки $E$ до прямой $LM,$ которое по условию равно $√- 3.$

Вспомним формулу площади описанных фигур

S = p⋅r,

где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Итак, тогда площадь $KLMN$ равна $1 √- √ - 2 ⋅16⋅ 3 =8 3.$

Ответ:

$8√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90317

Последовательность $a,a ,a,... 1 2 3$ получается из последовательности натуральных чисел вычёркиванием всех полных квадратов (то есть $a1 = 2$ , $a2 = 3$ , $a3 =5$ , $a4 = 6$ , $a5 = 7$ , $a6 = 8$ , $a7 = 10$ и т.д.). Найдите $a2023$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте рассмотрим число n, которое находится между двумя полными квадратами – m² и (m+1)². Подумайте, какой у него будет порядковый номер в последовательности?

Подсказка 2

Если бы это была последовательность натуральных чисел, то номер был бы равен n, но мы вычеркнули уже m чисел, так что порядковый номер равен n - m! Тогда нам просто нужно подобрать такие m и n, чтобы выполнялось 2023 = n - m и m² < n < (m+1)²

Показать ответ и решение

Для каждых натуральных чисел $n, m$ таких что