Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .13 ДВИ 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64520

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64521

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64522

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64523

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64524

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 227, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64684

Высота правильной треугольной призмы $ABCA ′B′C′$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $AA ′,BB ′,CC′$ равна $1.$ Найдите длину ребра основания, если известно, что $′ ′ AB ⊥ BC .$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как мы можем применить данную нам перпендикулярность? Кажется, будет удобно построить из точки B' прямую B'B₁, параллельную BC' и взглянуть, на полученную конструкцию. Обозначьте неизвестную сторону основания какой-нибудь переменной и попробуйте выразить всё что тут можно!

Подсказка 2

В основании правильный треугольник, значит у нас есть угол в 60°. Имея в треугольнике две стороны и угол мы сумеем выразить третью сторону: отрезок, соединяющий А с точкой пересечения B'B₁ и плоскости основания. Эту же сторону мы можем выразить при помощи т. Пифагора.

Подсказка 3

Осталось только решить квадратное уравнение, отсечь лишний корень (сторона ведь не может быть отрицательной!) и задача повержена!

Показать ответ и решение

$PIC$

Достроим основания призмы $ABC, A′B ′C ′$ до параллелограммов, получим $ABCD,A ′B′C′D′$ . Получится параллелепипед, в котором $AB ∥DC, AB =CD$ и $AB ′ ∥DC′,AB′ = DC′$ , отсюда $DC′ ⊥ BC ′$ . Кроме того, $BC′ = DC′$ (призма правильная, можно воспользоваться симметрией. Отсюда $△BC ′D$ прямоугольный и равнобедренный. Если $AC ∩ BD = M$ , то $C ′M$ будет высотой этого треугольника, если дополнительно $AB = a$ , то $√- C′M =DM =BM = -32a,CM = AM = a2$ (используем свойства правильного треугольника). Из условия $CC ′ =1$ , применяя теорему Пифагора: $- C′C2+ CM2 = C′M2 ⇐ ⇒ 1+ a2∕4= 3a2∕4 ⇐⇒ a= √2$ .

Ответ:

$√2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#64685

Дана правильная треугольная пирамида $ABCS$ с основанием $ABC$ и вершиной $S.$ Плоскость $π$ перпендикулярна ребру $AS$ и пересекает рёбра $AS,BS$ в точках $D,E$ соответственно. Известно, что $SD = AD$ и $SE = 2BE.$ Найдите косинус угла между ребром $AS$ и плоскостью основания $ABC.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пирамида правильная, поэтому мы чётко знаем куда падает её высота и искомый косинус будет легко выражаться, как только мы узнаем отношение её бокового ребра к ребру основания. Плоскость π перпендикулярна AS. Что в таком случае можно сказать о прямой DE пересечения этой плоскости с плоскостью (SAB)?

Подсказка 2

Итак, DE ⊥ AS. Тогда мы можем, зная положения точек D и E выразить косинус угла при вершине S. Рассмотрите теперь равнобедренный треугольник-грань △ASB: теорема косинусов поможет нам связать его боковые стороны со стороной основания.

Подсказка 3

Пирамида правильная, значит её высота падает в центр основания. Воспользуйтесь свойствами правильного треугольника и найденным в предыдущем пункте соотношением, чтобы выразить искомый косинус.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $a$ — длина ребра основания и $b$ — длина бокового ребра. В прямоугольном треугольнике $SDE$ имеем $SD = 12b$ и $SE = 23b$ . Стало быть, $cos∠ASB = 34$ . Применяя теорему косинусов к треугольнику $ASB$ , получаем, что $a2 =2b2− 2b2⋅ 34$ , откуда $√- b= a 2$ . Пусть $O$ — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $ASO$ имеем $√ - AS = b=a 2$ и $√- AO =a∕ 3$ . Стало быть, $√- cos∠SAO = AO∕AS =1∕ 6$ .

Ответ:

$√1- 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90019

Решите неравенство

( 2 2 )x2−2x 2log2 x− log2x +1 ≤ 1.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратим внимание на выражение в скобках: это сумма квадратов, она больше 0. Тогда ограничение на основание степени выполнено всегда!

Подсказка 2

Давайте представим 1 как выражение в скобке в степени 0. Теперь можно применить метод рационализации. Не забудьте про ОДЗ: у аргумента логарифма тоже есть ограничения.

Показать ответ и решение

С учётом $x> 0$ и замены $t=logx 2$ , для ОДЗ получим $2t2− 2t+ 1> 0$ , что выполнено всегда. Рассмотрим случаи

1.: $2t2− 2t+ 1> 1⇔ t∈ (− ∞,0)∪(1,+ ∞)⇔ x ∈(0,1)∪ (2,+∞ )$ . В этом случае неравенство эквивалентно $x2 − 2x≤ 0$ , то есть $x ∈[0,2]$ , в итоге $x ∈(0,1)$ .
2.: $2 2t − 2t+ 1= 1⇔ x= 1,2$ — подходят оба значения.
3.: $2 2t − 2t+ 1< 1⇔ x∈ (1,2)$ , тогда $2 x − 2x≥ 0⇔ x∈ (−∞,0]∪[2,+ ∞)$ , здесь решений не будет.

Ответ:

$(0;1]∪{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90021

Решите неравенство

√--- √--- log 6−x(6+x)+ log 6+x(6 − x)≤ 5.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда, с ОДЗ! Следующим шагом стоит избавиться от корней в основании логарифмов, какое свойство нам в этом поможет?

Подсказка 2

Попробуйте сделать замену: t = log₆₋ₓ(6 + x), после применения свойства логарифмов перед нами будет обычное рациональное неравенство, решите его!

Подсказка 3

Аккуратная работа с обратной заменой поможет нам добить задачу

Показать ответ и решение

После замены $t= log (6+ x) 6−x$ по свойствам логарифмов получаем неравенство

2 2t+ t ≤5

2 5 t-−-2t+1 ≤0 t

По методу интервалов

t< 0 или 1≤ t≤ 2 2

По методу рационализации на ОДЗ $x∈ (− 6;6)∖{−5;5}$ получаем

(6− x− 1)(6+ x− 1)< 0 или (6− x− 1)((6+x)− (6− x)2)≤0,(6− x − 1)((6+ x)2− (6− x))≥ 0

(5 − x)(5 +x)< 0 или (x− 5)(x2− 13x +30)≤ 0,(x− 5)(x2+13x+ 30)≤0

Первое условие после пересечения с ОДЗ дает решения $5< |x|<6,$ которые сразу заносим в ответ. Если же первое условие не выполнено, то $x − 5≤ 0,$ поэтому второе условие при $x ⁄= 5$ ( $x= 5$ всё равно не входит в изначальную ОДЗ) эквивалентно системе

x2− 13x+ 30 ≥0,x2+ 13x+ 30≥ 0

решения которой

x∈ [−3;3]

тоже добавляем в ответ.

Ответ:

$(−6;−5)∪[−3;3]∪(5;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90022

Решите неравенство

log √x -2- x 2 ≥ √x .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством, чтобы 1/√х представить в виде 2 в некоторой степени. Точно также и х в левой части можно записать как степень двойки.

Подсказка 2

Внимательно поработайте со свойствами степеней, чтобы перед нами осталось сравнение 2 в некоторых степенях. Теперь можно перейти и к сравнению показателей!

Подсказка 3

Сделайте замену t = log₂(x) и решите получившееся рациональное неравенство. Осталось сделать обратную замену, пересечь результаты с ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся, что $x =2log2x,$ тогда $-1-=x− 12 = 2− 12log2x. √x$ Исходное неравенство примет вид

1log2x 1− 1 logx 22 2 ≥ 2 2 2

Так как основание больше 1, то можем перейти к неравенству на степени с сохранением знака неравенства

1log2x≥ 1− 1log x 2 2 2 2

(log2x+2)(log2x− 1)≥0

Перейдём к равносильному неравенству с учётом ОДЗ

{ x> 0 ( 1] (x− 1∕4)(x − 2)≥ 0 ⇐⇒ x ∈ 0;4 ∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1 ]∪[2;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90038

Решите неравенство

( 2 3) logx x + 2 ≤ 4logx2+32(x).

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что аргумент одного логарифма равен основанию другого, как в таком случае мы можем сделать логарифмы одинаковыми?

Подсказка 2

Можно заменить логарифм справа на t, тогда слева будет 1/t! Данное неравенство относительно t легко решается методом интервалов

Подсказка 3

После обратной замены можно заметить, что основание логарифма больше единицы, поэтому от сравнения логарифмов (все числа представляем в виде логарифмов по основанию х² + 1,5) можно перейти к сравнению их аргументов без смены знака. Таким образом получаем дробно-рациональные неравенства относительно х, решаем их, пересекаем с ОДЗ и получаем ответ)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| x> 0 ||||| 2 3 { x + 2 > 0 ⇐⇒ x∈ (0;+∞ ) {1} |||| x⁄= 1 ||( x2+ 3⁄= 1 2

Сделаем замену

( ) t= log 2 3x =⇒ logx x2+ 3 = 1,t⁄= 0 x+ 2 2 t

Тогда получаем

1 4t2− 1 t ≤ 4t =⇒ t ≥ 0

(2t− 1)(2t+ 1) -----t-----≥ 0

Решая методом интервалов последнее неравенство получаем, что

[ ) [ ) t∈ − 1;0 ∪ 1;∞ 2 2

Сделаем обратную замену.

⌊ − 1 ≤log 2 3x <0 || 2 x +2 ⌈ log 3x≥ 1 x2+ 2 2

Из второго неравенства получаем, что

∘ ----3 3 x ≥ x2+ 2 =⇒ x2 ≥x2+ 2 -неверное неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

( ( ||{ logx2+32 x ≥− 12 |{ x≥ ∘--1--- || =⇒ |( x2+ 32 ( logx2+32 x <0 x< 1

( 3 ( ||{ x4+-2x2−-1≥ 0 ||{ 2x4+-3x2-− 2 ≥0 | x2 + 32 =⇒ | 2x2+ 3 |( x< 1 |( x< 1

( ||{ (x2+-2)(2x2− 1)≥ 0 | 2x2+3 |( x <1

Решая методом интервалов неравенство, получаем, что

( √-] [√ - ) x∈ −∞;− -2- ∪ --2;∞ 2 2

Объединяя с ОДЗ, получаем

[√- ) x∈ -2;1 2

Ответ:

$x ∈[√2;1) 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90041

Решите неравенство

log3(1− x)− log3(1+ x)+log1+x(1− x)− 1≤ 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте воспользуемся свойствами логарифмов, чтобы сделать их основания одинаковыми. При этом в нашем выражении появятся дроби – их можно просто привести к общему знаменателю

Подсказка 2

Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые, чтобы разложить выражение на множители, после останется лишь применить метод рационализации и пересечь решение с ОДЗ

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

(| 1− x> 0 { 1+ x> 0 =⇒ x ∈(−1;0)∪(0;1) |( 1+ x⁄= 1

На ОДЗ верны следующие преобразования

log1+x(1−-x) ---1-- log1+x(1−-x)⋅log1+x-3 log1+x3 log1+x3 −log1+x 3 + log1+x3 − log1+x3 ≤ 0

log (1− x)(1+ log 3)− (1+log 3) (1+log 3)(log (1− x)− 1) ---1+x--------log1+x3---------1+x-- ≤0 =⇒ -----1+x-log--1+x3---------≤ 0 1+x 1+x

(1−-log1+x 13)(log1+x(1−-x)− log1+x(1+x)) log1+x3− log1+x1 ≤ 0

Используем метод рационализации

( 1) ( ) (1+x-− 1)-1+-x−-3-⋅(1+-x−-1)(1−-x−-(1+-x))-≤0 =⇒ 2x2 2 +x ≥0 (1+ x− 1)(3− 1) 3

Решая последнее неравенство методом интервалов и объединяя с ОДЗ, получаем, что

[ 2 ) x ∈ − 3;0 ∪(0;1)

Ответ:

$x ∈[− 2;0)∪(0;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90132

Найдите наименьшее целое число, большее, чем $√√17+3. 17−3$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для того, чтобы удобно было оценивать наше число, избавимся от иррациональности в знаменателе: на что удобно для этого домножить нашу дробь?

Подсказка 2

Умножьте дробь на такое выражение, чтобы в знаменателе образовалась разность квадратов.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулами сокращённого умножения, чтобы раскрыть скобки в числителе и в знаменателе, можно ли сократить получившуюся дробь?

Подсказка 4

Осталось оценить √17 и можно записывать ответ!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе

√17-+3 26 +6√17 13 +3√17 T = √17-− 3 =--8----= ---4----

Поскольку $√-- 4< 17< 5$ , то

(13+ 12)∕4< T <(13+15)∕4

6< 25∕4< T < 7

Тогда ответом будет $7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90133

Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии в два раза больше суммы первых десяти членов. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что пятый её член равен 7.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть а — первый член прогрессии, d — её знаменатель. Вспомните формулу n-ного члена прогрессии и суммы первых n членов, запишите уравнением условие о соотношении сумм.

Подсказка 2

Из полученного линейного уравнения можно сделать вывод о соотношении а и d.

Подсказка 3

Запишите формулой 5-й член прогрессии и подставьте в неё ранее найденное отношение. Задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть данная прогрессия имеет вид $a =a +(k− 1)d k$ . Из условия получаем

a1+ ⋅⋅⋅+ a15 =15a+ 105d =2 ⋅(a1+ ⋅⋅⋅+a10)= 20a+ 90d

a= 3d

Тогда

a+ 4d= a+ 4a= 7 3

a= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90134

Решите уравнение

tgxtg2x+ 3= 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить уравнение. Было бы удобно сделать замену и решить обычное, не тригонометрическое уравнение. Как это сделать?

Подсказка 2

Применим формулу тангенса двойного угла. Тогда при замене t = tg(x) и домножении левой и правой части на 1 - tg²x получим обычное квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Применим формулу тангенса двойного угла

-2tgx-- tgx⋅1− tg2x = −3

2 tg2x= 3tg2x− 3

√ - tgx= ± 3⁄= ±1

π x =± 3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90135

Середины сторон выпуклого четырёхугольника $ABCD$ лежат на окружности. Известно, что $AB = 1,BC = 4,CD =8$ . Найдите $AD$ .

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем найти еще какие-то хорошие свойства у внутреннего четырехугольника? Какими являются его стороны?(попарно противоположные)

Подсказка 2

Внутренний четырёхугольник является параллелограммом! Так он еще и вписан….кто же он тогда?

Подсказка 3

Внутренний четырехугольник является прямоугольником! Что тогда можно сказать про диагонали большего четырехугольника?

Подсказка 4

Диагонали большего четырехугольника перпендикулярны! Чем тогда можно воспользоваться при вычислении сторон большего четырехугольника?

Подсказка 5

Можно воспользоваться теоремой Пифагора для четырех треугольников, на которые разбился больший четырехугольник!

Показать ответ и решение

Четырёхугольник $EFGH$ является параллелограммом, поскольку стороны попарно параллельны диагоналям $ABCD$ , но раз он вписан, то также является прямоугольником, то есть диагонали $ABCD$ перпендикулярны.

$PIC$

Пусть $AC∩ BD = I$ , отсюда $AI2 +BI2 = 1,BI2+ CI2 = 16$ и $CI2 +DI2 =64$ , тогда

AI2+ DI2 = AD2 =1+ 64− 16=49

AD =7

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90136

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 4∘ --2 a2 x + (1− a+ |x|) = 4

имеет ровно три решения.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проверим, что будет, если подставить в уравнение -х на место х?

Подсказка 2

Уравнение получилось таким же! Значит, если х₀ является решением уравнения, то и -х₀ будет также решением. Тогда нечётное число решений может быть только в том случае, если -х₀ = х₀.

Подсказка 3

Подстановкой получите значения а, при которых решений может быть нечётное число, но как проверить, будет ли их именно 3, а не 1/5/7 и т.д.?

Подсказка 4

Один из случаев (с дробным значением а) удобно проверить оценкой, какие значения принимает каждое из слагаемых?

Подсказка 5

Во втором случае удобно решать графически: пусть y = (1 - a + ⁴√|x|), постройте график и определите количество решений!

Показать ответ и решение

Решений нечётное количество, в силу симметрии $x ↔ −x.$ Тогда единственным решений должен быть $x =0 :$

2 2 1− 2a +a = a ∕4

2 a= 2 или a= 3

Если $a= 2$ , то $2 ∘4-- 2 x +( |x|− 1) = 1$ , это легко решить графически:

$PIC$

То есть $a= 2$ подойдёт, при $a= 23$ получим $-- 19 = x2+(13 +∘4|x|)2$ , где вторая скобка не меньше $(13)2$ , то есть решение только одно — $x =0$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90137

Объём треугольной призмы $ABCA ′B′C′$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $AA′,BB ′$ , $CC ′$ равен 72. Найдите объём тетраэдра $DEF G$ , где $D$ — центр грани $′ ′ ABB A,E$ — точка пересечения медиан треугольника $′ ′ ′ A BC ,F$ — середина ребра $AC$ и $G$ — середина ребра $BC.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Лежащих в одной или хотя бы в параллельных плоскостях, оснований у призмы и тетраэдра не видно. Значит попробуем достроить удобную для вычисления фигуру, с помощью которой можно найти искомый объём через отношение.

Подсказка 2

Продлим ED до пересечения с плоскостью АВС, назовём I полученную точку. Как связаны объёмы тетраэдров IEFG и DEFG?

Подсказка 3

Связать объём тетраэдра IEFG с объёмом призмы можно взяв за основание тетраэдра △IFG: как его сторона FG и высота к этой стороне связаны с высотой и сторонами △АВС? Осталось аккуратно записать все найденные отношения и мы получим ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $C′H$ и $CJ$ — медианы верхней и нижней грани, тогда $D$ лежит на $HJ$ — в центре средней линии параллелограмма. Отсюда следует, что при отражении $E$ относительно $D$ мы попадём на $CJ$ — в точку $I$ , то есть $VDEFG =VEFGI∕2$ .

$PIC$

Также в силу симметрии $JI = HE = EC∕2$ ( $E$ — точка пересечения медиан), тогда $CI = 2⋅EC = 4∕3 ⋅CJ$ , однако заметим, что $FG$ делит $CJ$ пополам, то есть делит $CI$ в отношении $3 :5$ от вершины $C$ , откуда