Тема . ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127156

Найдите произведение корней уравнения

  x2+-x+-1    x2-− x+-1 x2-− 4x+-1   π−-2
sin   2x   + cos   2x    =    x    ⋅cos 4  .
Показать ответ и решение

Положим t= x2+1-= 1(x+ 1)
    2x    2    x . Тогда исходное уравнение примет вид

   (   1)    (   1)           π−-2
sin t+ 2 + cos  t− 2  = 2(t− 2)cos  4 .

Заметим, что

sin(t+ 1∕2)+ cos(t− 1∕2)= sint(cos(1∕2)+ sin(1∕2))+cost(cos(1∕2)+ sin(1∕2)) =
                   = (sin t+ cost)(cos(1∕2)+sin(1∕2))= 2cos(t− π∕4)cos(π∕4− 1∕2)

Получаем

cos(t− π∕4)= t− 2.

На отрезке [1,3] функция cos(t− π∕4)  убывает, ибо 3< π < 4  . Функция же t− 2  на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором t= t0  . Поскольку t0 > 1  , уравнение x2− 2t0x+ 1= 0  имеет два различных корня. Их произведение равно 1.

Ответ: 1

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!