ИТМО 2020

Рассмотрим окружность, на которой лежат точки и Точка равноудалена от точек и поэтому является серединой дуги Значит, — биссектриса угла в треугольнике

Точка лежит на луче и находится на том же расстоянии от точки что точки и поэтому по лемме о трезубце является центром вписанной в треугольник окружности, а значит, тоже биссектриса.

Рассмотрим произвольного рыцаря. Из его фразы следует, что на собрании рыцарей и лжецов. Построим двудольный граф знакомств рыцарей и лжецов, в первой доле вершины — рыцари, во второй — лжецы. Из каждой из хотя бы вершин первой доли исходит минимум ребер, следовательно, ребер в графе C другой стороны, лжец знаком не более, чем с рыцарями, а значит, если лжецов то имеем

Приведем пример на рыцарей и лжецов: пронумеруем рыцарей и лжецов. Рассмотрим первых рыцарей. Пусть среди них рыцари и лжецы с одинаковыми номерами будут не знакомы. А также со сдвигом на один: второй рыцарь не знаком с первым лжецом, третий рыцарь со вторым и так далее. Все остальные знакомы, рыцари попарно знакомы между собой, а лжецы попарно не знакомы. Такая ситуация подходит, так как каждый лжец не знаком хотя бы с двумя рыцарями, и каждый рыцарь знаком хотя бы с лжецами.

делится на а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, т.к. на при нечётном По-другому можно это доказать так: значит т.к. нечётно.

Теперь рассмотрим остатки по модулю делится на в нечётной степени даёт при делении на остаток , а в чётной - остаток Число даёт остаток при делении на а значит и любая нечётная степень куба даёт такой же остаток. Таким образом, сумма делится на

Мы получили уже три множителя: Кроме того   поэтому есть хотя бы ещё один делитель.

Перебрав несколько первых членов последовательности, можно заметить, что числитель предыдущего является знаменателем следующего.

Определим последовательность следующим образом: , то есть

Подставив это представление в рекуррентную формулу, мы получим

Члены последовательности имеют вид Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать как Можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим и , откуда

Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен тогда производная — это

Их разность равна Её дискриминант должен быть равен то есть откуда то есть у трёхчлена нет корней.

Докажем существование таких чисел и что

и, кроме того,

Тогда на доске находятся, во-первых, числа и а во-вторых, и невозможно определить, где какое число.

Решаем уравнение:

Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем

Обозначив получаем

Это уравнение имеет подходящий корень Осталось убедиться, что при таком значении все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары или совпадают при квадрате синуса равном совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.

Можно также просто вычислить эти числа, это

Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором и меняются местами.

Пусть — точка касания сферы и грани Тогда и равные прямоугольные треугольники, в которых катет в два раза меньше гипотенузы.

По теореме Пифагора В правильном треугольнике это радиус описанной окружности, откуда

Соответственно,

Обозначим точку касания вписанной окружности и стороны за Тогда точка лежит на отрезке Это следует, например, из теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного шестиугольника

Тогда

поскольку

Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине за , к вершине — за и т.д., а полупериметр пятиугольника за Тогда

Для каждой ячейки посчитаем сумму чисел ней и в её соседях и сложим все эти суммы. Полученное число будет не менее

Заметим, что каждое число было посчитано не более семи раз: для себя и для всех своих соседей. Поэтому общая сумма всех чисел не менее

Чтобы достигалось равенство, необходимо, чтобы, во-первых, достигалось равенство в условии задачи, и, во-вторых, каждое ненулевое число суммировалось бы ровно семь раз, то есть, в каждой ячейке, у которой меньше семи соседей, стояло бы число

Это невозможно: ячейки, которые считаются менее раз — это ячейки, примыкающие к граням куба. Если расставить во всех этих ячейках нули, сумма чисел в угловой ячейке и её соседях также будет равна а вовсе не