Тема ИТМО - задания по годам

ИТМО 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68309

Точки $A,B$ и $C$ лежат на окружности с центром в точке $O.$ Луч $OB$ вторично пересекает описанную около треугольника $AOC$ окружность в точке $D,$ причём точка $B$ оказалась внутри этой окружности. Докажите, что $AB$ — биссектриса угла $DAC.$

Источники: ИТМО-2020, 9.6 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположите, что то, что вам нужно доказать, верно, и поймите, что это означает?

Подсказка 2

Получается картинка из леммы о трезубце, а точка B будет центром вписанной в треугольник ADC окружности.

Подсказка 3

Теперь остаётся доказать это. Из равенства OA=OC получаем, что...

Подсказка 4

DO - биссектриса. На ней отмечена точка B, так что BO=OA=OC. Значит...

Подсказка 5

Так как центр вписанной окружности удовлетворяет этому свойству по лемме о трезубце, и только одна точка на биссектрисе ему удовлетворяет, то B - центр вписанной окружности в треугольник ADC.

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим окружность, на которой лежат точки $A, O, C$ и $D.$ Точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $C,$ поэтому является серединой дуги $AC.$ Значит, $DO$ — биссектриса угла $D$ в треугольнике $ACD.$

Точка $B$ лежит на луче $OD$ и находится на том же расстоянии от точки $O,$ что точки $A$ и $C,$ поэтому по лемме о трезубце является центром вписанной в треугольник $ACD$ окружности, а значит, $AB$ тоже биссектриса.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68795

На собрании присутствовали рыцари, всегда говорящие правду и лжецы, которые всегда лгут (точно есть и те, и другие). Каждый сказал: “Я знаком хотя бы с $15$ рыцарями на этом собрании” и “Я знаком хотя бы с $11$ лжецами на этом собрании”. Какое наименьшее количество человек могло собраться?

Источники: ИТМО-2020, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Типичная идея в данном случае — построить двудольный граф рыцарей и лжецов. Теперь рассмотрим произвольного рыцаря. Какой вывод можно сделать о количестве ребер?

Подсказка 2

Если смотрим рыцаря, то его слова — правда, то есть есть минимум 16 рыцарей и 11 лжецов, и каждый рыцарь с хотя бы таким количеством лжецов знаком. Находим из этого нижнюю оценку на количество рёбер. Что теперь можно оценить?

Подсказка 3

Оценим количество лжецов из того, что слова произвольного лжеца — ложь, то есть он знаком не более, чем с 14 рыцарями. Воспользуемся найденной ранее оценкой на количество рёбер во всем графе. Итак, получили какие-то оценки на количество лжецов/рыцарей, достигаются ли они?

Подсказка 4

Попробуем привести пример на 16 рыцарей и 13 лжецов (по нижней оценке).

Показать ответ и решение

Рассмотрим произвольного рыцаря. Из его фразы следует, что на собрании $≥16$ рыцарей и $≥ 11$ лжецов. Построим двудольный граф знакомств рыцарей и лжецов, в первой доле вершины — рыцари, во второй — лжецы. Из каждой из хотя бы $16$ вершин первой доли исходит минимум $11$ ребер, следовательно, ребер в графе $≥16⋅11= 176.$ C другой стороны, лжец знаком не более, чем с $14$ рыцарями, а значит, если лжецов $k,$ то имеем $k⋅14≥ 176⇔ k≥ 13.$

Приведем пример на $16$ рыцарей и $13$ лжецов: пронумеруем рыцарей и лжецов. Рассмотрим первых $13$ рыцарей. Пусть среди них рыцари и лжецы с одинаковыми номерами будут не знакомы. А также со сдвигом на один: второй рыцарь не знаком с первым лжецом, третий рыцарь со вторым и так далее. Все остальные знакомы, рыцари попарно знакомы между собой, а лжецы попарно не знакомы. Такая ситуация подходит, так как каждый лжец не знаком хотя бы с двумя рыцарями, и каждый рыцарь знаком хотя бы с $11$ лжецами.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77773

Докажите, что число $33n+ 173n +313n$ при нечётном $n$ раскладывается в произведение хотя бы четырёх (не обязательно различных) натуральных чисел, больших единицы.

Источники: ИТМО - 2020, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно найти числа, на которые делится наше выражение. Попробуйте рассмотреть маленькие числа: на 2 выражение не делится, а на 3?

Подсказка 2

Верно, оно делится на 3, но что насчёт каких-нибудь степеней тройки? Рассмотрите наше выражение по модулю 9. Не забудьте, что каждое из слагаемых в нечётной степени.

Подсказка 3

О, оно делится на 9, здорово. Теперь надо найти ещё какой-нибудь делитель. Мы знаем, что одно из трёх слагаемых делится на 17. А кратна ли 17 сумма остальных двух слагаемых?

Подсказка 4

Попробуйте доказать, что a^m+b^m кратно a+b при нечётном m. Тогда доказать делимость на 17 будет совсем просто:) Вот, у нас есть уже три множителя, а четвёртый можно явно не искать, достаточно показать, что он будет больше единицы.

Показать доказательство

$3+ 31= 34$ делится на $17,$ а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, т.к. $am + bm$ на $a+ b$ при нечётном $m.$ По-другому можно это доказать так: $31≡ −3(mod 17),$ значит $3n 3n 3n 31 ≡ (−3) ≡ −3 ,$ т.к. $3n$ нечётно.

Теперь рассмотрим остатки по модулю $9.$ $3n 3$ делится на $9.$ $17$ в нечётной степени даёт при делении на $9$ остаток $8$ , а в чётной - остаток $1.$ Число $3 31$ даёт остаток $1$ при делении на $9,$ а значит и любая нечётная степень куба даёт такой же остаток. Таким образом, сумма $3n 3n 3n 3 + 17 + 31$ делится на $9.$

Мы получили уже три множителя: $3,3 и 17.$ Кроме того $3n 3n 3n 3 + 17 + 31 >3⋅3⋅17= 153,$ поэтому есть хотя бы ещё один делитель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97897

Последовательность $x n$ задана условиями $x = 5 1 3$ и $x = 4− -3. n+1 xn$ Найдите $x . 100$

Источники: ИТМО - 2020, 11.8 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем подставить первые несколько значений последовательности и проследить закономерность. Как связаны числитель и знаменатель дробей?

Подсказка 2

Правильно, числитель предыдущего члена последовательности является знаменателем следующего. Попробуем обозначить x_n через новую последовательность y_n так, чтобы дробь упрощалась. Как можно выразить x_n через y_n?

Подсказка 3

Подставим это представление в рекуррентное соотношение и посмотрим, как оно упростится. К какой известной последовательности это может привести?

Подсказка 4

Получаем геометрическую прогрессию. Какой у неё знаменатель? Какой вид x_n нам это дает? Выражаем и находим ответ!

Показать ответ и решение

Перебрав несколько первых членов последовательности, можно заметить, что числитель предыдущего является знаменателем следующего.

Определим последовательность $yn$ следующим образом: $y0 = 3,y1 = 5,yn =xnyn−1$ , то есть

yn xn = yn−1-

Подставив это представление $xn$ в рекуррентную формулу, мы получим

yn+1-= 4− 3yn−1- yn yn

y = 4y − 3y n+1 n n−1

Члены последовательности $yn$ имеют вид $3,5,11,29,83,...$ Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать $yn$ как $3na+ b.$ Можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим $a =1$ и $b= 2$ , откуда

xn =-3n+-2- 3n−1+ 2

Ответ:

$3100+2 399+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#109924

График квадратного трёхчлена касается графика его производной. Докажите, что у трёхчлена нет корней.

Источники: ИТМО - 2020, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наш квадратный трёхчлен равен ax²+bx+c. Тогда чему равна его производная?

Подсказка 2

Верно, 2ax+b. Графики параболы и прямой касаются, значит, имеют одну общую точку. Как можно это записать в виде уравнения?

Подсказка 3

Это значит, что уравнение ax²+bx+c = 2ax+b имеет единственное решение. Более того, это квадратное уравнение, то есть мы можем сказать, чему равен его дискриминант!

Подсказка 4

Верно, его дискриминант равен нулю. Теперь мы можем сделать вывод о том, какой знак у дискриминанта исходного квадратного трёхчлена.

Показать доказательство

Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен $ax2+ bx+ c,$ тогда производная — это $2ax+ b.$

Их разность равна $2 ax + (b− 2a)x+ (c− b).$ Её дискриминант должен быть равен $0,$ то есть $2 (b− 2a)− 4a(c− b)= 0,$ откуда $2 2 b − 4ac =− 4a < 0,$ то есть у трёхчлена нет корней.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#109925

На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это $sinx,cosx,tg x$ и $y ⁄= ctgx,$ но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно какое число?

Источники: ИТМО - 2020, 11.3 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно было бы доказать, что сделать этого невозможно?

Подсказка 2

Верно! Хотелось бы найти такие x и z, что для них получится одинаковый набор указанных тригонометрических функций и числа y, но в разном порядке. Например, sin(x) = cos(z). Какие различные тригонометрические функции для x и z можно было бы уравнять?

Подсказка 3

Попробуем сделать так, чтобы выполнялись равенства sin(z) = tg(x), cos(x) = tg(z). А каким можно взять y?

Подсказка 4

Верно! Будем строить y = cos(z) = √(1-tg²(x)). Из наших условий получается, что необходимо выполнение равенства cos(x) = tg(x)/√(1-tg²(x)). Что из этого равенства выходит?

Подсказка 5

Точно! Получается, что sin²(x) должен быть 1 - 1/√2 или 1/2. Осталось проверить, что найденные числа подходят!

Показать ответ и решение

Докажем существование таких чисел $x$ и $z,$ что

∘ ----2-- sinz =tgx,cosz = y = 1− tg x

и, кроме того,

--tgx--- cosx= tgz = ∘1− tg2x

Тогда на доске находятся, во-первых, числа $sin x,cosx$ и $tg x,$ а во-вторых, $sinz,cosz,tgz$ и невозможно определить, где какое число.

Решаем уравнение:

cosx= ∘--tgx2-- 1− tg x

∘ ----2-- 2 1− tg x cos x= sinx.

Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем

(cos2x− sin2x)cos2x =sin2x.

Обозначив $sin2x =t$ получаем

(1− 2t)(1− t)=t

1− 4t+ 2t2 = 0.

Это уравнение имеет подходящий корень $1√- 1 1− 2 ⁄= 2.$ Осталось убедиться, что при таком значении $2 sin x$ все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары $sin x,$ $cosx,$ или $sinz,cosz$ совпадают при квадрате синуса равном $1 2;$ совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.

Можно также просто вычислить эти числа, это $∘√---- ∘---√--∘ ∘----∘---∘---- 2− 1, 2 − 2, 1∕2, 1− 1∕2.$

Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором $x$ и $z$ меняются местами.

Ответ: Нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#109926

$ABCD$ — пирамида с правильным треугольником $ABC$ в основании. Сфера радиуса $10$ с центром в точке $D$ проходит через середины сторон $AD,BD$ и $CD$ и касается грани $ABC.$ Найдите объём пирамиды.

Источники: ИТМО - 2020, 11.4 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим точку касания сферы и грани ABC, пусть H. Какие связанные с ней фигуры, в которых удобны вычисления, можно заметить?

Подсказка 2

Находим равные прямоугольные треугольники. Опишем окружность около ABC, для выражения сторон в перспективе. Какую из сторон в треугольниках можно отнести к этой окружности?

Подсказка 3

Заметим, что, например, AH — радиус этой окружности. Пользуясь этим, разделим площадь основания (ABC) на составляющие, вычисление которых теперь является простой задачей. Через это найдём объём пирамиды.

Показать ответ и решение

Пусть $H$ — точка касания сферы и грани $ABC.$ Тогда $ADH, BDH$ и $CDH$ равные прямоугольные треугольники, в которых катет $DH$ в два раза меньше гипотенузы.

$PIC$

По теореме Пифагора $√- AH =BH =CH = 10 3.$ В правильном треугольнике $ABC$ это радиус описанной окружности, откуда

1 √ - √ - SABC = SABH + SACH +SBCH = 3SABH = 3⋅2 ⋅(10 3)2sin120∘ = 225 3.

Соответственно,

√ - √- VABCD = 1DH ⋅SABC = 1⋅10⋅225 3= 750 3. 3 3

Ответ:

$750√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#109927

В описанном пятиугольнике $ABCDE$ даны длины сторон

AB =10, BC = 9, CD = 11, DE =8, EA= 12.

Диагонали $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $M.$ Найдите отношение площадей треугольников $AMD$ и $BMD.$

Источники: ИТМО - 2020, 11.6 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим вписанную окружность и ее точку касания со стороной AB, пусть F. Что мы можем сказать о положении точки M?

Подсказка 2

Точка M лежит на отрезке DF. Тогда как можем выразить отношение площадей через какие-то составляющие?

Подсказка 3

Находим равные площади, выражаем искомые площади как разности площадей нескольких фигур. Из этого приводим отношение площадей к отношению сторон. Каких?

Подсказка 4

Нужно найти отношение AF/BF. Можем найти его, например, пользуясь некоторыми соображениями относительно периметра/полупериметра, длин остальных сторон. Выражаем через уже известные стороны и получаем ответ.

Показать ответ и решение

Обозначим точку касания вписанной окружности и стороны $AB$ за $X.$ Тогда точка $M$ лежит на отрезке $DX.$ Это следует, например, из теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного шестиугольника $AXBCDE.$

$PIC$

Тогда

S S − S AX SABMMDD- = SABDDXX-− SABMMXX-= BX-,

поскольку

SADX-= SAMX-= AX-. SBDX SBMX BX

Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине $A$ за $a$ , к вершине $B$ — за $b$ и т.д., а полупериметр пятиугольника за $p.$ Тогда

AX- a a+b+-c+-d+-e− (b+-c)−-(d+e) p-− BC-−-ED 8 BX = b = a+b+ c+ d+ e− (c+ d)− (a+e) = p− CD − AE = 2 =4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#109928

Куб $8×8 ×8$ состоит из $512$ маленьких кубиков $1× 1×1$ (назовём их ячейками). Ячейки называются соседними, если имеют общую грань — таким образом, у каждой ячейки не более $6$ соседних.

В каждой ячейке записано неотрицательное число. Сумма чисел в ячейке и во всех соседних не менее $35.$ Докажите, что сумма чисел во всех ячейках куба строго больше $2560.$

Источники: ИТМО - 2020, 11.7 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем посчитать сумму в каких-то компонентах куба, из этого сделать вывод об общей сумме. Что рассматриваем?

Подсказка 2

Посчитаем сумму в каждой ячейке и её соседях. Из таких сумм можно сформировать сумму во всем кубе, но нужно учесть, сколько максимум раз мы посчитали каждую ячейку. Из этого можем получить нестрогую оценку снизу на всю сумму в кубе.

Подсказка 3

Теперь посмотрим, когда в этой оценке выходит равенство и найдём противоречия с условием (о сумме в ячейке и соседних) в этом случае — теперь оценка строгая, что и требовалось!

Показать доказательство

Для каждой ячейки посчитаем сумму чисел ней и в её соседях и сложим все эти суммы. Полученное число будет не менее $3 35⋅8 = 17920.$

Заметим, что каждое число было посчитано не более семи раз: для себя и для всех своих соседей. Поэтому общая сумма всех чисел не менее $17920:7 =2560.$

Чтобы достигалось равенство, необходимо, чтобы, во-первых, достигалось равенство $35$ в условии задачи, и, во-вторых, каждое ненулевое число суммировалось бы ровно семь раз, то есть, в каждой ячейке, у которой меньше семи соседей, стояло бы число $0.$

Это невозможно: ячейки, которые считаются менее $7$ раз — это ячейки, примыкающие к граням куба. Если расставить во всех этих ячейках нули, сумма чисел в угловой ячейке и её соседях также будет равна $0,$ а вовсе не $35.$