ИТМО 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В описанном пятиугольнике 
даны длины сторон
Диагонали 
и 
пересекаются в точке 
Найдите отношение площадей треугольников 
и 
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрим вписанную окружность и ее точку касания со стороной AB, пусть F. Что мы можем сказать о положении точки M?
Подсказка 2
Точка M лежит на отрезке DF. Тогда как можем выразить отношение площадей через какие-то составляющие?
Подсказка 3
Находим равные площади, выражаем искомые площади как разности площадей нескольких фигур. Из этого приводим отношение площадей к отношению сторон. Каких?
Подсказка 4
Нужно найти отношение AF/BF. Можем найти его, например, пользуясь некоторыми соображениями относительно периметра/полупериметра, длин остальных сторон. Выражаем через уже известные стороны и получаем ответ.
Обозначим точку касания вписанной окружности и стороны 
за 
Тогда точка 
лежит на отрезке 
Это следует, например, из
теоремы Брианшона (которая гласит, что главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке) для вырожденного
шестиугольника 
Тогда
поскольку
Обозначим отрезки касания, прилегающие к вершине 
за 
, к вершине 
— за 
и т.д., а полупериметр пятиугольника за 
Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
