Тема Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

№13 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#112967

a) Решите уравнение $√ - √- √ - 2sin2x + 2sin(2π+ x)− 3sin2x= 6cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулами

$sin2x = 2sinx cosx,$
$sin(α+ 2π)= sin α.$

Тогда имеем:

$pict$

То есть выполнено одно из условий:

1.: $√- sinx − 3cosx= 0,$
2.: $√ - 2sinx + 2= 0.$

Решим оба случая. Первый:

$pict$

Данное преобразование возможно, так как, если $cosx= 0,$ то и $sin x= 0,$ а это противоречит ОТТ.

Тогда

x= π-+ πk, k ∈ ℤ. 3

Второй:

$pict$

Тогда

⌊ π- |x= − 4 + 2πk, k ∈ℤ ||x= − 3π+ 2πk, k ∈ ℤ |⌈ π 4 x= 3-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π;3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$33ππ 77ππ 2 43$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π- 2 ;3π$ лежат точки $7π 4 ;$ $7π 3 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $7π 7π 4 ; 3 .$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#112987

a) Решите уравнение $√- 3sin2x+ 3cos2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

$pict$

Получили элементарное тригонометрическое уравнение, его решение:

2π 2x= 3-+ πk, k ∈ ℤ π πk x= 3-+ -2 , k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π; 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$54ππ 117ππ- π23 63$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат точки $4π ; 3$ $11π; 6$ $7π-. 3$

Ответ:

а) $π+ πk-, 3 2$ $k ∈ ℤ$

б) $4π; 11π; 7π 3 6 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120317

a) Решите уравнение $log5(cosx+ sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx+ sin2x + 25)= 2 5 cosx+ sin2x +25 = 52 cosx+ 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1+ 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sin x= − 1 2 ⌊x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 ||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 6 x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ 6

Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7517ππ9ππ 2π2262$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] 2π;-2$ лежат точки $5π -2 ;$ $19π -6-;$ $7π -2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $5π; 2$ $19π; 6$ $7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120318

a) Решите уравнение $log5(cosx− sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx− sin2x + 25)= 2 5 cosx− sin2x +25 = 52 cosx− 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1− 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sinx = 1 2 ⌊x = π-+πk, k ∈ ℤ || 2 ||x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 6 x = 5π +2πk, k ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π;4π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$5517ππ7ππ 42π262$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] 2-;4π$ лежат точки $5π -2 ;$ $17π -6-;$ $7π -2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 17π; 7π 2 6 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2