Тема Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

№13 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125803

а) Решите уравнение $√ - √ - 2sinx + 2 2sin(−x)− 4cos2x= 2− 4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − π-;π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x = 1− sin2x.$ Тогда получаем:

2sin x+ 2√2sin(− x)− 4 (1 − sin2x)= √2 − 4 √- 2 √- 2sin x− 2 2√sinx− 4+ 4sin x =√ -2 − 4 2sinx − 2 2sinx + 4sin2x− 2= 0 2sinx +4 sin2x− √2 − 2√2-sinx = 0 √- 2sin(x(1 +2sin√x))− 2(1+ 2sinx) = 0 2sinx− 2 (1 + 2sinx)= 0 [ √ - 2sinx − 2= 0 1+ 2sinx = 0 ⌊ √- |sinx = -2- |⌈ 21 sinx = −2 ⌊ π x= 4-+ 2πk, k ∈ ℤ || 3π |||x= -4 + 2πk, k ∈ ℤ || π- ||x= − 6 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 5π x= − 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π- ] − 2;π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−π−π3πππ- 4426$

Следовательно, на отрезке $[− π;π] 2$ лежат точки $− π; 6$ $π; 4$ $3π . 4$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk; 4$ $− π-+ 2πk; 6$ $− 5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $− π-; 6$ $π-; 4$ $3π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125804

а) Решите уравнение $√ - √ - 2sinx + 2 3sin(−x)− 4cos2x= 3− 4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x = 1− sin2x.$ Тогда получаем:

2sin x+ 2√3sin(− x)− 4 (1 − sin2x)= √3 − 4 √- 2 √- 2sin x− 2 3√sinx− 4+ 4sin x =√ -3 − 4 2sinx − 2 3sinx + 4sin2x− 3= 0 2sinx +4 sin2x− √3 − 2√3-sinx = 0 √- 2sin(x(1 +2sin√x))− 3(1+ 2sinx) = 0 2sinx− 3 (1 + 2sinx)= 0 [ √ - 2sinx − 3= 0 1+ 2sinx = 0 ⌊ √- |sinx = -3- |⌈ 21 sinx = −2 ⌊ π x= 3-+ 2πk, k ∈ ℤ || 2π |||x= -3 + 2πk, k ∈ ℤ || π- ||x= − 6 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 5π x= − 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π] 2π;-2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$27781ππππ9π 2336$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] 2π; 2$ лежат точки $7π 3 ;$ $8π 3 ;$ $19π- 6 .$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk; 3$ $− π-+ 2πk; 6$ $− 5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $7π; 3$ $8π; 3$ $19π- 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125805

а) Решите уравнение $√- √ - √-- 2+ 2cos(π +2x)− 8 sinx = 6− 12sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла получаем:

2 cos(π+ 2x)= − cos2x = 2sin x− 1.

Тогда

√- √ - √-- 2+ 2cos(π2+ 2x)−√-8sinx=√ -6−√-12sin x 2 +4 sin x− 2− 8 sinx = 6− 12 sinx 4 sin2x− 2√2 sinx+ 2√ 3sinx − √ 6= 0 ( √ -) √-( √ -) 2 sinx(2 sinx− 2) +( 3 2 sinx−) 2 = 0 2sinx+ √3 2sinx − √2 = 0 ⌊ √- 2sin x+ 3= 0 ⌈ √- 2sin x− 2= 0 ⌊ √3 |sinx = −-2- |⌈ √2 sinx = -2- ⌊ π x= − 3-+2πk, k ∈ℤ ||| 2π ||x= − 3-+ 2πk, k ∈ℤ || π- ||x= 4 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 3π x= 4 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[π- ] 2 ;2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$π345πππ 22π433$

Следовательно, на отрезке $[π ] -2;2π$ лежат точки $3π -4 ;$ $4π 3-;$ $5π 3-.$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk; 3$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 4$ $4π; 3$ $5π- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125806

а) Решите уравнение $√- √- √ -- 2− 2cos(π +2x)− 8 cosx = 6− 12 cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла получаем:

2 cos(π+ 2x)= − cos2x =1 − 2 cos x.

Тогда

√- √ - √-- 2 − 2 cos(π+ 22x)−√-8cosx= √-6−√ 12cosx 2− 2+ 4cos x− 8 cosx = 6− 12 cosx 4cos2x− 2√2cosx +2√ 3cosx − √6= 0 ( √ -) √- ( √-) 2cosx(2 cosx − 2) +( 3 2cosx)− 2 = 0 2cosx+ √3 2cosx− √2 =0 ⌊ √- 2cosx+ 3 = 0 ⌈ √- 2cosx− 2 = 0 ⌊ √3 |cosx= −-2- |⌈ √2 cosx= -2- ⌊ x= ± 5π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 6π x= ± 4-+2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[π ] 2-;2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$π2775ππππ 2646$

Следовательно, на отрезке $[ ] π-;2π 2$ лежат точки $5π; 6$ $7π; 6$ $7π-. 4$

Ответ:

a) $± π+ 2πk; 4$ $± 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $5π; 6$ $7π; 6$ $7π- 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125808

а) Решите уравнение $√- √- √ -- 2cos(2π+ 2x)− 2+ 8 sinx= − 6+ 12sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 0; 3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Используя формулу косинуса двойного угла и периодичность косинуса, преобразуем уравнение:

2cos2x− 2+ √8 sinx =− √6 +√12-sinx ( 2 ) √ - √- √ - 2 1− 2s√in x − 2√+2 2sinx = −√6-+2 3sinx 2 2sinx+ 6= 4sin2x +2 3sinx √2 (2sinx +√3 )= 2sinx(2sinx+ √3) ( -) ( -) 2sinx+ √3 2sinx − √2 = 0

Таким образом, мы получаем

⌊ π- ⌊ √- | x= − 3 + 2πk, k ∈ℤ sinx =− -3- || x= − 2π + 2πk, k ∈ℤ || √-2 ⇒ ||| 3 ⌈ -2- || x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ sinx = 2 |⌈ 4 x= 3π +2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 0; 3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$03π34πππ 4243$

Следовательно, на отрезке $[ 3π] 0; 2$ лежат точки $π- 4 ;$ $3π 4 ;$ $4π 3 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk; 3$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $π-; 4$ $3π; 4$ $4π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125815

а) Решите уравнение $√- √ - 1− cos2x − 3sin(x+ π)= 3+ 2sinx$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −5π;− 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) По формуле приведения:

sin(x +π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x= 1− 2sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x − 3(− sinx)− 3− 2sinx = 0 1− 1+ 2sin2 x+ √3sinx− √3 − 2 sinx =0 2 √- √- 2sin x + 3sin x−√-3 − 2 sinx =0 2sin x(sinx− 1)+ 3(sinx − 1)= 0 (2sin x+ √3)(sin x− 1)= 0 [ √- 2sinx + 3= 0 sinx − 1 = 0 ⌊ √ - ⌈sinx = −--3 sinx = 1 2 ⌊ π |x= − 3-+2πk, k ∈ℤ || 2π ||x= − 3-+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π- x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π] −5π;− 2- ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$11734πππ −−−−5π332$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] − 5π;− -2$ лежат точки $14π − -3-;$ $13π − -3-;$ $7π − 2-.$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 2$ $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 14π ; 3$ $− 13π; 3$ $− 7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125816

а) Решите уравнение $√- √ - 2− 2cos2x + 3sin x= 3− 2sin(x+ π)$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Используя формулу приведения и основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение:

2− 2cos2x + √3sin x= √3-− 2sin(x+ π) 2 √ - √- 2sin x+ 3sinx√ = 3+ 2s√in x 2sin2x − 2sinx + 3sin x− 3 =0 2sin x(sinx− 1)+ √3(sinx − 1)= 0 ( √-) 2sin x+ 3 (sin x− 1)= 0 [ √- 2sinx + 3= 0 sinx − 1 = 0 ⌊ √3 ⌈sinx = −-2- sinx = 1 ⌊ π- |x= − 3 +2πk, k ∈ℤ ||x= − 2π+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π-3 x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π] −4π;− 2- ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−47π5ππ8π- 223$

Следовательно, на отрезке $[ 5π] − 4π;− -2$ лежат точки $7π − -2 ;$ $8π − -3 .$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 2$ $− 2π+ 2πk; 3$ $− π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 7π; 2$ $− 8π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125817

а) Решите уравнение $√- √ - 1− cos2x + 3sin(x+ π)= 3− 2sinx$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) По формуле приведения:

sin(x +π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x = 1− sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x + 3(− sinx)− 3+ 2sinx = 0 1− 1+ 2sin2 x− √3sinx− √3 +2 sinx =0 2 √- √- 2sin x − 3sin x−√-3 +2 sinx =0 2sin x(sinx+ 1)− 3(sinx +1)= 0 (2 sinx− √3 )⋅(sin x+ 1)= 0 [ √- 2sinx− 3 = 0 sin x+ 1= 0 ⌊ √3- ⌈sin x= 2 sin x= −1 ⌊ π- |x = 3 +2πk, k ∈ℤ |||x = 2π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 3 x = − π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π 2 ;3π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$783πππ 3π332$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π-;3π 2$ лежат точки $3π; 2$ $7π; 3$ $8π-. 3$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 2$ $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 2$ $7π; 3$ $8π- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125818

а) Решите уравнение $cos2x+ 0,75= cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем уравнение:

2cos2x − 1+ 0,75= cos2 x 2 cos x − 0,25= 0 cosx = ±1 2 ⌊x= ± π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 3 x= ± 2π+ 2πk, k ∈ ℤ 3 x = ±π-+ πk, k ∈ ℤ 3

$−−−−−4π5π11108πππ- 2333$

Следовательно, на отрезке $[ 5π] − 4π;− 2$ лежат точки $11π − 3 ;$ $10π − 3 ;$ $− 8π. 3$

Ответ:

a) $± π+ πk, k ∈ℤ 3$

б) $− 11π ; 3$ $− 10π; 3$ $− 8π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125836

а) Решите уравнение $√- √ - √-- 2+ 2cos(π − 2x)+ 8 sinx = 6+ 12sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π; 9π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла получаем:

2 cos(π− 2x)= − cos2x = 2sin x− 1.

Тогда

√- √ - √-- 2+ 2cos(π2− 2x)+√-8sinx=√ -6+√-12sin x 2 +4 sin x− 2+ 8 sinx = 6+ 12 sinx 4 sin2x+ 2√2 sinx− 2√ 3sinx − √ 6= 0 ( √ -) √-( √ -) 2 sinx(2 sinx+ 2) −( 3 2 sinx+) 2 = 0 2sinx+ √2 2sinx − √3 = 0 ⌊ √- 2sin x+ 2= 0 ⌈ √- 2sin x− 3= 0 ⌊ √2 |sinx = −-2- |⌈ √3 sinx = -2- ⌊ π x= − 4-+2πk, k ∈ℤ ||| 3π ||x= − 4-+ 2πk, k ∈ℤ || π- ||x= 3 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 2π x= 3 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 9π] 3π;-2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$9111π353πππ 32π344-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π; 9π 2$ лежат точки $13π; 4$ $15π; 4$ $13π. 3$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $13π; 4$ $15π; 4$ $13π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125837

а) Решите уравнение $√- √ - √-- 2cos(2π+ 2x)− 2− 8 sinx= 6+ 12sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Используя формулу косинуса двойного угла и периодичность косинуса, преобразуем уравнение:

2cos(2π +2x)− 2− √8 sinx = √6+ √12-sinx ( 2 ) √- √ - √- 2 1− 2si√n x − 2−√-2 2 sinx= 6√+ 2 3sinx − 2 2sin x− 6 =4 sin2x+ 2 3 sinx − √2(2 sinx+ √3) = 2sin x(2sinx + √3) ( -) ( -) 2sinx+ √3 2sinx + √2 = 0

Таким образом, мы получаем

⌊ π- ⌊ √- | x= − 3 + 2πk, k ∈ℤ sinx =− -3- || x= − 2π + 2πk, k ∈ℤ || √2 ⇒ ||| 3 ⌈ -2- || x= − π-+ 2πk, k ∈ℤ sinx =− 2 |⌈ 4 x= − 3π + 2πk, k ∈ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π;3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$3375ππππ 243$

Следовательно, на отрезке $[ 3π- ] 2 ;3π$ лежат точки $5π 3 ;$ $7π 4 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk; 3$ $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $5π; 3$ $7π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#125838

а) Решите уравнение $√- √ - 1− cos2x + 2sin(x− π)= 2− 2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −π; π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) По формуле приведения:

sin(x − π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x= 1− 2sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x + 2(− sinx)− 2+ 2sinx = 0 1− 1+ 2sin2 x− √2sinx− √2 +2 sinx =0 2 √- √- 2sin x − 2sin x−√-2 +2 sinx =0 2sin x(sinx+ 1)− 2(sinx +1)= 0 (2 sinx− √2 )⋅(sin x+ 1)= 0 [ √- 2sinx− 2 = 0 sin x+ 1= 0 ⌊ √2- ⌈sin x= 2 sin x= −1 ⌊ π- |x = 4 +2πk, k ∈ℤ |||x = 3π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 4 x = − π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −π; π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$ππ-π- −24−π2$

Следовательно, на отрезке $[ π] − π;2$ лежат точки $π- − 2;$ $π- 4.$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 2$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− π-; 2$ $π- 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#125839

а) Решите уравнение $√- √- 1− cos2x + 2sin x= 2 − 2 sin(x + π).$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− 3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения:

sin(x +π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x= 1− 2sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x + 2sinx − 2+ 2(− sin x)= 0 1− 1+ 2sin2 x+ √2sinx− √2 − 2 sinx =0 2 √- √- 2sin x + 2sin x−√ 2 − 2 sinx =0 2 sinx⋅(sinx − 1)+ 2(sinx− 1)= 0 (2 sinx+ √2-)⋅(sinx− 1)= 0 [ √- 2sinx + 2= 0 sinx − 1 = 0 ⌊ √ - ⌈sinx = −--2 sinx = 1 2 ⌊ π |x= − 4-+2πk, k ∈ℤ || 3π ||x= − 4-+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π- x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2- ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−3 3 9 1πππ1π 244$

Следовательно, на отрезке $[ 3π] − 3π;−-2$ лежат точки $3π − -2 ;$ $9π − -4 ;$ $− 11π-. 4$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ 2πk, 2$ $k ∈ℤ$

б) $− 3π ; 2$ $− 9π; 4$ $− 11π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125841

а) Решите уравнение $√- √- 1− cos2x + 3sin x= 3 − 2 sin(x + π).$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения:

sin(x +π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x= 1− 2sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x + 3sinx − 3+ 2(− sin x)= 0 1− 1+ 2sin2 x+ √3sinx− √3 − 2 sinx =0 2 √- √- 2sin x + 3sin x−√ 3 − 2 sinx =0 2 sinx⋅(sinx − 1)+ 3(sinx− 1)= 0 (2 sinx+ √3-)⋅(sinx− 1)= 0 [ √- 2sinx + 3= 0 sinx − 1 = 0 ⌊ √ - ⌈sinx = −--3 sinx = 1 2 ⌊ π |x= − 3-+2πk, k ∈ℤ || 2π ||x= − 3-+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π- x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π] π;-2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$π554πππ 233$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] π;-2$ лежат точки $4π -3 ;$ $5π -3 ;$ $5π 2-.$

Ответ:

a) $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk; 3$ $π+ 2πk, 2$ $k ∈ℤ$

б) $4π; 3$ $5π; 3$ $5π- 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126318

а) Решите уравнение $√- √ - 2− 2cos2x + 2sin x= 2− 2sin(x− π)$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 2π;− π- . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Используя формулу приведения и основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение:

2− 2cos2x + √2sin x= √2-− 2sin(x− π) 2 √ - √- 2sin x+ 2sinx√ = 2+ 2s√in x 2sin2x − 2sinx + 2sin x− 2 =0 2sin x(sinx− 1)+ √2(sinx − 1)= 0 ( √-) 2sin x+ 2 (sin x− 1)= 0 [ √- 2sinx + 2= 0 sinx − 1 = 0 ⌊ √2 ⌈sinx = −-2- sinx = 1 ⌊ π- |x= − 4 +2πk, k ∈ℤ ||x= − 3π+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π-4 x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую промежутку $[ π ] −2π;−-2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−23πππ3π- 224$

Следовательно, на отрезке $[ π] − 2π;− 2$ лежат точки $3π − 2 ;$ $3π − 4 .$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 2$ $− 3π+ 2πk; 4$ $− π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $− 3π; 2$ $− 3π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127041

а) Решите уравнение $√- √ - 2sin(−x)+ 2 3 sinx− 4cos2x= 3− 4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − π-;π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x = 1− sin2x.$ Тогда получаем:

2sin(−x) +2√3-sinx − 4 (1 − sin2x)= √3 − 4 √ - 2 √- − 2sinx + 2 3√sin x− 4+ 4sin x =√- 3− 4 −2sinx+ 2 3 sinx+ 4sin2x− 3 = 0 −2sinx+ 4sin2 x− √3+ 2√3-sinx = 0 √- 2sinx((−1 +2si√nx))+ 3(−1+ 2sinx)= 0 2sinx + 3 (−1+ 2sinx)= 0 [ √ - 2sinx + 3= 0 −1+ 2sin x= 0 ⌊ √ - |sinx = −--3 |⌈ 1 2 sinx = 2 ⌊ π x= − 3 + 2πk, k ∈ ℤ || 2π |||x= − 3-+ 2πk, k ∈ℤ || π- ||x= 6 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 5π x= 6 + 2πk, k ∈ ℤ

$π−π5−πππ- 6623$

Следовательно, на отрезке $[− π;π] 2$ лежат точки $− π; 3$ $π; 6$ $5π . 6$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk; 3$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $− π-; 3$ $π-; 6$ $5π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127044

а) Решите уравнение $√- √- √ -- 2cos(π+ 2x)− 2− 8 cosx = 6+ 12 cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла получаем:

2 cos(π+ 2x)= − cos2x =1 − 2 cos x.

Тогда

√- √ - √-- 2 cos(π+ 22x)− 2−√-8cosx= √-6+√ 12cosx 2− 4cos x− 2− 8 cosx = 6+ 12 cosx 4cos2x+ 2√2cosx +2√ 3cosx + √6= 0 ( √ -) √- ( √-) 2cosx(2 cosx + 2) +( 3 2cosx)+ 2 = 0 2cosx+ √3 2cosx+ √2 =0 ⌊ √- 2cosx+ 3 = 0 ⌈ √- 2cosx+ 2 = 0 ⌊ √3 |cosx= −-2- |⌈ √2- cosx= −-2- ⌊ x= ± 5π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 6 x= ± 3π+ 2πk, k ∈ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π-;2π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$π27553πππππ 26464$

Следовательно, на отрезке $[ ] π;2π 2$ лежат точки $3π-; 4$ $5π; 6$ $7π; 6$ $5π -4 .$

Ответ:

a) $± 3π+ 2πk; 4$ $± 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $3π; 4$ $5π; 6$ $7π-; 6$ $5π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#127045

а) Решите уравнение $√- √- 1− cos2x + 3sin (x +π )= 3− 2sin x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения:

sin(x +π) =− sin x.

По формуле косинуса двойного угла:

2 cos2x= 1− 2sin x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( ) √ - √ - 1− 1− 2sin2x + 3(− sinx)− 3+ 2sinx = 0 1− 1+ 2sin2 x− √3sinx− √3 +2 sinx =0 2 √- √- 2sin x − 3sin x−√ 3 +2 sinx =0 2 sinx⋅(sinx + 1)− 3(sinx+ 1)= 0 (2 sinx− √3 )⋅(sinx+ 1)= 0 [ √- 2sinx− 3 = 0 sin x+ 1= 0 ⌊ √ - ⌈sin x= --3 sin x= −21 ⌊ π |x = 3-+2πk, k ∈ℤ || 2π ||x = 3-+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ π- x = −2 + 2πk, k ∈ ℤ

$π537πππ 223$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат точки $3π ; 2$ $7π. 3$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk; 3$ $− π-+ 2πk, 2$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 2$ $7π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#127046

а) Решите уравнение $√ - √ - 2cos(−x)− 2 2cosx − 4sin2x= 2− 4.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −2π;− π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $sin2x= 1 − cos2x.$ Тогда получаем:

2cos(−x)− 2√2-cosx − 4(1− cos2x)= √2-− 4 √- 2 √ - 2cosx− 2 2√cosx− 4+ 4cos x=√ - 2− 4 2 cosx − 2 2cosx + 4cos2x − 2= 0 2 cosx +4cos2x− √2-− 2√2-cosx= 0 √- 2cosx((1+ 2cos√x))− 2(1+ 2cosx)= 0 2cosx− 2 (1 + 2cosx) =0 [ √- 2cosx − 2= 0 1+ 2cosx = 0 ⌊ √- |cosx = -2- |⌈ 21 cosx = −2 ⌊ π x= ± 4 + 2πk, k ∈ ℤ |⌈ 2π x= ± 3-+ 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π] −2π;− 2-,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−2ππ4π7π2π- 2343$

Следовательно, на отрезке $[− 2π;− π] 2$ лежат точки $− 2π; 3$ $− 4π; 3$ $7π − 4-.$

Ответ:

а) $± π+ 2πk; 4$ $± 2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 2π ; 3$ $− 4π; 3$ $− 7π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#125843

а) Решите уравнение $√- ( ) √- 2 2sin x+ π- + 2cos2x = 2+ 6cosx. 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] −3π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса суммы:

( π-) π- π- sin x+ 3 = sinx cos 3 + cosxsin 3 = 1 √3 = 2 sinx+-2-cosx.

Из основного тригонометрического тождества:

cos2x = 1− sin2x.

Сделаем полученные замены и перенесем всё в левую сторону:

( √- ) 2√2 1sin x+ -3-cosx + 2(1− sin2x)− 2− √6-cosx = 0 2 2 - √ 2sinx +√ 6cosx+ 2− 2sin2x − 2− √6cosx= 0 √- 2 2si(n√x− 2sin x)= 0 sin x 2 − 2 sinx =0 [ s√inx= 0 ⌊ 2− 2sin x= 0 sinx =0 |⌈ √- sinx = -2- ⌊ 2 | x= πk, k ∈ ℤ || x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ || 4 ⌈ x= 3π +2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2 ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−32 3 7ππππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 3π;− 3π 2$ лежат точки $− 3π;$ $− 2π;$ $− 7π. 4$

Ответ:

a) $πk;$ $π-+2πk; 4$ $3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $− 3π;$ $− 2π;$ $− 7π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2