.00 №14 из ЕГЭ 2025

а) Проведем через точку прямую параллельно пусть это Далее, поскольку по построению и по условию, то — параллелограмм по определению. При этом — середина а значит,

Получили, что — середина ребра

Пусть — центр нижнего основания. Тогда по свойствам квадрата в основания куба получаем, что и Отсюда — параллелограмм по признаку. Следовательно,

Таким образом, мы получаем, что плоскость содержит прямые и При этом содержит отрезок а значит и всю прямую, на которой он лежит. Тогда прямая лежит в плоскости следовательно, точка тоже принадлежит

б) Пусть — середина Поскольку плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой то верхняя грань пересекается по прямой, параллельной а значит, и параллельной При этом прямая параллельна поскольку является средней линией Тогда сечение куба плоскостью — четырехугольник

По теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для

Но известно, что и Значит, получаем Более того, они не могут быть параллельны в силу теоремы о трех попарно пересекающихся плоскостях ( и ).

Таким образом, получаем, что — равнобедренная трапеция.

Заметим, что как средняя линия Следовательно, по теореме Пифагора для треугольника получаем:

Кроме того, отрезок равен как диагональ квадрата со стороной 2.

По теореме Пифагора для

Так как то мы знаем все стороны сечения. Более того, так как данная трапеция равнобедренная, то она может быть вписана в окружность. Значит, применима формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника. Для начала вычислим полупериметр:

Тогда имеем: