Тема Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

№14 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#127773Максимум баллов за задание: 3

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ со стороной $7.$ На стороне $BB1$ отмечена точка $K$ такая, что $BK = 5.$ Через точки $K$ и $C1$ проходит плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что $A1P :PB1 =3 :2,$ если $P$ — точка пересечения $α$ с прямой $A1B1.$

б) Найдите меньший из отрезков, на которые плоскость $α$ делит диагональ $B1D.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим плоскость $(BB1D1 ).$ Пусть прямая $C1P$ пересекает $B1D1$ в точке $M.$ Так как плоскость $α ∥BD1,$ то $KM ⊂ α$ и прямая $KM$ обязательно параллельна $BD1.$ По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых $KM, BD1$ и угла $∠BB1D1 :$

D1M--= BK--= 5 MB1 KB1 2

$PIC$

Рассмотрим плоскость $(A B C ). 1 1 1$ Треугольники $P B M 1$ и $MC D 1 1$ подобны по двум углам, так как $∠P MB1 = ∠C1MD1$ как вертикальные и $∠P B1D1 = ∠B1D1C$ как накрест лежащие при $A1B1 ∥C1D1.$ Тогда имеем:

PB1 B1M 2 C1D1-= MD1--= 5

Отсюда получаем, что

-PB1-= -PB1-= 2. A1B1 C1D1 5

Тогда если $P B1 = 2x,$ то $A1B1 = 5x$ и $A1P =3x.$ Отсюда следует, что $A1P- = 3. P B1 2$

б) Рассмотрим плоскость $(A1B1C1).$ Тогда $√ - B1D1 = 7 2$ как диагональ квадрата со стороной $7$ и $√- B1M = 2B1D1 = 2 2. 7$

$PIC$

Рассмотрим плоскость $(BB1D1 ).$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей куба и $N = B1D ∩ KM.$ Тогда $N$ — это точка пересечения $B1D$ и $α.$ По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых $KM, BD1$ и угла $∠BB1D :$

B1N- = B1K-= 2 NO KB 5

$PIC$

Отсюда получаем, что $B1N-= 2 . B1O 7$ Кроме того, $B1O = 1B1D = 1 ⋅7√3 2 2$ как половина диагонали куба с ребром $7.$

Тогда искомый отрезок равен

2 1 √ - √ - B1N = 7 ⋅2 ⋅7 3= 3.

Ответ:

б) $√ - 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#127868Максимум баллов за задание: 3

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA1B1C1D1.$ Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1.$ Сечения параллелепипеда плоскостями $(AOB )$ и $(BOC )$ являются прямоугольниками, $AB$ и $BC$ — их меньшие стороны соответственно. Известно, что $AB$ и $BC$ в 3 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $B1C$ и плоскостью $(BOC ).$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Тогда плоскость $(AOB )$ пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной $AB.$ Пусть данная прямая пересекает $A1D1$ и $B1C1$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

Плоскость $(BOC )$ пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной $BC.$ Пусть данная прямая пересекает $A1B1$ и $D1C1$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

Пусть $AB =x,$ $BC = y.$ Тогда по условию $AE = 3x,$ $BN = 3y.$

Так как $EF$ и $MN$ проходят через центр $O$ прямоугольника $A1B1C1D1,$ то имеем:

x A1N = NB1 = D1M = MC1 = 2 y A1E = ED1 = B1F =F C1 = 2

$PIC$

Так как $ABCDA1B1C1D1$ — прямоугольный параллелепипед, то его боковые ребра перпендикулярны основаниям. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AA1E :$

2 2 2 AA 1+ A1E = AE 2 2 (y)2 AA 1 = (3x) − 2

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BB1N :$

BB21 + B1N2 = BN2 ( )2 BB21 = (3y)2− x2

Так как $AA1 = BB1,$ то получаем уравнение:

2 (y)2 2 ( x)2 (3x) − 2 = (3y) − 2 2 y2 2 x2 9x − 4-= 9y − -4 ( ) ( ) 9 + 1 ⋅x2 = 9+ 1 ⋅y2 4 4 x2 = y2 ⇒ x =y

Получили, что $AB =BC,$ значит, $ABCD$ — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

б) Проведем высоту $B1H$ в треугольнике $BB1N.$ Заметим, что $MN ∥ BC,$ то есть $MN ⊥ A1B1.$ Также $MN ⊥ BB1,$ так как $BB1 ⊥ (A1B1C1 ).$ Тогда прямая $MN$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости $(ABB ), 1$ следовательно, $MN ⊥ (ABB1 ).$ Тогда $MN$ перпендикулярна любой прямой из плоскости $(ABB1 ),$ в частности $MN ⊥ B1H.$

$PIC$

Получили, что $B1H ⊥BN,$ $B1H ⊥ MN.$ Следовательно, $B1H ⊥(BOC )$ и $H$ — проекция точки $B1$ на плоскость $(BOC ).$ Тогда угол между прямой $B1C$ и плоскостью $(BOC )$ равен углу $∠B1CH.$ Найдем его из прямоугольного треугольника $B1CH.$

Найдем $B1H.$ Из пункта а) имеем:

2 2 x2 35x2 BB 1 =9x − 4 = 4 √35x BB1 = --2--

По формуле высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, получаем:

√-- x -35x- √-- B1H = B1N-⋅BB1- = 2 ⋅-2---= -35x- BN 3x 12

По теореме Пифагора для треугольника $BB1C :$

2 2 2 B1C = BB 1 + BC 2 35x2- 2 39x2 B1C = 4 +x = 4 √39x B1C = --2--

Тогда из прямоугольного треугольника $B1CH$ имеем:

√ -- --35x √ -- sin ∠B1CH = B1H-= √-12- = -√35-- B1C --39x 6 39 2 √35- ∠B1CH = arcsin 6√39-

Ответ:

$√-- arcsin √35-- 6 39$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#120320Максимум баллов за задание: 3

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $√- 3 2,$ высота призмы равна $√ - 2 7.$ Точка $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

a) Докажите, что сечением призмы плоскостью $α$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольник $BB1D1.$ По условию $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точку $K$ проведем среднюю линию $KL,$ параллельную стороне $BD1.$ Тогда точка $L$ лежит в плоскости $α,$ так как эта плоскость параллельна прямой $BD1.$

Диагонали $A1C1$ и $B1D1$ квадрата $A1B1C1D1$ точкой пересечения делятся пополам, при этом $L$ — середина $B1D1.$ Значит, $A1C1$ и $B1D1$ пересекаются в точке $L.$

Прямая $A C 1 1$ проходит через точки $C 1$ и $L,$ лежащие в плоскости $α.$ Следовательно, прямая $A1C1$ лежит в плоскости $α,$ значит, $△ A1KC1$ — искомое сечение.

$PIC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A1B1K$ и $C1B1K.$ У этих треугольников катеты $A1B1$ и $C1B1$ равны как стороны квадрата $A1B1C1D1,$ а катет $B1K$ — общий. Значит, $△A1B1K = △C1B1K$ по двум катетам. В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому $A1K = C1K.$ Следовательно, треугольник $A1KC1$ — равнобедренный.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1C1 :$

(√ -)2 ( √-)2 A1C21 =A1B21 + C1B21 = 3 2 + 3 2 = 36.

Значит, $A1C1 = 6.$

По теореме Пифагора в треугольнике $A1B1K :$

2 2 2 ( √-)2 ( 2√7-)2 A1K =A1B 1 + B1K = 3 2 + -2-- =18 +7 = 25.

Значит, $A1K = 5.$

$PIC$

Тогда периметр $P A1KC1$ треугольника $A KC 1 1$ равен

PA1KC1 = A1C1 + A1K +C1K =A1C1 + 2A1K = 6+ 2⋅5= 16.

Ответ: б) 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#130112Максимум баллов за задание: 3

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Точки $M$ и $K$ — середины его ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точку $B$ параллельно прямым $A1M$ и $B1K.$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через точку $D.$

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $α,$ если его ребра равны 2.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Проведем через точку $B$ прямую параллельно $A1M,$ пусть это $BL.$ Далее, поскольку $A1M ∥ BL$ по построению и $A1B1 ∥AB$ по условию, то $A1MBL$ — параллелограмм по определению. При этом $M$ — середина $AB,$ а значит,

A L = MB = AB-= A1B1-. 1 2 2

Получили, что $L$ — середина ребра $A1B1.$

Пусть $O$ — центр нижнего основания. Тогда по свойствам квадрата в основания куба получаем, что $KO ∥AB ∥ A B 1 1$ и $KO = 1AB = MB = LB . 2 1$ Отсюда $LB1KO$ — параллелограмм по признаку. Следовательно, $LO ∥B1K.$

$PIC$

Таким образом, мы получаем, что плоскость $α$ содержит прямые $LB$ и $LO.$ При этом $α$ содержит отрезок $BO,$ а значит и всю прямую, на которой он лежит. Тогда прямая $BD$ лежит в плоскости $α,$ следовательно, точка $D$ тоже принадлежит $α.$

б) Пусть $N$ — середина $A1D1.$ Поскольку плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой $BD,$ то верхняя грань пересекается по прямой, параллельной $BD,$ а значит, и параллельной $B1D1.$ При этом прямая $LN$ параллельна $B1D1,$ поскольку является средней линией $△ A1B1D1.$ Тогда сечение куба плоскостью $α$ — четырехугольник $BLND.$

По теореме Пифагора для $△ LB1B :$

LB2 =LB21 + BB21

По теореме Пифагора для $△ ND1D :$

ND2 =ND21 +DD21

Но известно, что $BB1 = DD1$ и $LB1 = ND1.$ Значит, получаем $LB = ND.$ Более того, они не могут быть параллельны в силу теоремы о трех попарно пересекающихся плоскостях ( $AA1D1, AA1B1$ и $LND$ ).

Таким образом, получаем, что $BLND$ — равнобедренная трапеция.

$PIC$

Заметим, что $B1D1- NL = 2$ как средняя линия $△ A1B1D1.$ Следовательно, по теореме Пифагора для треугольника $B1A1D1$ получаем:

√------ -22+-22 √ - NL = 2 = 2

Кроме того, отрезок $BD$ равен $2√2$ как диагональ квадрата со стороной 2.

По теореме Пифагора для $△ LMB :$

2 2 2 LB = LM + MB √ - LB2 = 22 +12 ⇒ LB = 5

Так как $LB = ND,$ то мы знаем все стороны сечения. Более того, так как данная трапеция равнобедренная, то она может быть вписана в окружность. Значит, применима формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника. Для начала вычислим полупериметр:

√2+ 2√2-+ 2√5 3√- √ - p = ------2-------= 2 2+ 5.

Тогда имеем:

∘ (------------)--(--------------)--(------------)--(-------------)- SBLND = 3√2-+ √5− √2- ⋅ 3√2+ √5-− 2√2 ⋅ 3√2-+ √5− √5- ⋅ 3√2+ √5-− √5 = 2 2 2 2 ∘ (--√---√----√-)--(-√----√----√--)--2--- = 3 2 + 5− 2 ⋅ 3 2+ 5 − 2 2 ⋅ 32 ⋅2= 2 2 2 ∘ (√----√2)--(√----√2)--9- ∘-9-9 9 = 5 + 2-- ⋅ 5− -2- ⋅2 = 2 ⋅2 = 2

Ответ:

б) 4,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#130114Максимум баллов за задание: 3

В правильной призме $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $K,$ $L$ и $M$ на ребрах $CD,$ $CC1$ и $A1B1$ соответственно. Известно, что $A1M = MB1,$ $2CK = KD$ и $AKLM$ – равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что $CL = 2LC1.$

б) Найдите объем призмы, если известно, что $AA1 =7.$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Сибирь

Показать ответ и решение

a) Пусть $AB = 6x,$ тогда $DK = 4x,$ $KC = 2x,$ а $A1M = MB1 = 3x.$ Спроецируем точку $M$ на грань $DD1C1C,$ в результате получим точку $M ′$ — середина $D1C1.$

$PIC$

Рассмотрим грань $DD1C1C,$ проведем $′ DM$ и продлим $KL$ до пересечения с продолжением стороны $D1C1,$ пусть это пересечение происходит в точке $P.$

Заметим, что $DM ′P K$ — параллелограмм, а значит, $DK = M ′P = 4x,$ а поскольку $M ′C1 = 3x,$ то $C1P = x.$

$PIC$

Треугольники $C1PL$ и $CKL$ подобны по двум углам ( $∠C1P L= ∠LKC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $D1C1$ и $DC$ и секущей $KP,$ а $∠C1LP =∠CLK$ как вертикальные)

Запишем отношение соответствующих сторон

C1L-= C1P- LC KC C1L- -x 1 LC = 2x = 2

Что и требовалось доказать.

б) Так как $AA1 = 7,$ то $7 14 C1L = 3, CL = 3-.$

$PIC$

По теореме Пифагора для $△ ADK :$

AD2 + DK2 = AK2 36x2+ 16x2 = AK2 ⇒ AK2 = 52x2

По теореме Пифагора для $△ MB1C1 :$

MC21 = MB21 +B1C21 2 2 2 2 MC 1 = 9x + 36x = 45x

По теореме Пифагора для $△ MC1L :$

2 2 2 ML = MC 1 +C1L ML2 = 45x2+ 49 9

Воспользуемся тем, что $AKLM$ — равнобедренная трапеция, а значит, $AK = ML.$ Получаем уравнение:

52x2 = 45x2+ 49 9 7x2 = 49 9 √- 2 7 -7- x = 9 ⇒ x= 3

Таким образом, у нас получилась правильная призма с высотой 7, а сторона основания равна $2√7,$ значит

√ - √- V =AA1 ⋅AD ⋅AB = 7 ⋅2 7⋅2 7 = 196.

Ответ:

б) 196

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#130116Максимум баллов за задание: 3

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ точка $N$ лежит на ребре $CD.$ Известно, что $CN =2ND,$ $AB = 3AA1,$ $AD =2AA1.$ Плоскость $α$ проходит через точки $A,$ $C1,$ $N.$

a) Докажите, что $α$ делит ребро $A1B1$ в отношении $2 :1,$ считая от вершины $A1.$

б) Найдите площадь сечения плоскостью $α,$ если известно, что $AA1 =1.$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Из условия следует, что если принять $ND = x,$ то $CN = 2x,$ $AB = CD = 3x,$ $AA1 = x,$ $AD =2x.$

Верхнее и нижнее основания параллелепипеда параллельны, следовательно, плоскость $α$ пересечет их по параллельным отрезкам: $C1M ∥ AN,$ где $M$ — точка пересечения плоскости $α$ с ребром $A1B1.$ Аналогично для левой и правой граней: $AM ∥ NC1.$ Таким образом, сечение параллелепипеда плоскостью $α$ — параллелограмм $ANC1M.$

$PIC$

Тогда $AN = C1M.$ Следовательно, $△ADN = △C1B1M$ по катету и гипотенузе. Но тогда $B1M = DN = x.$ Значит, $A1M = 2x$ и $A1M :MB1 = 2:1.$

б) По условию $x = 1.$

$PIC$

Заметим, что $AN =NC1$ как гипотенузы равных прямоугольных треугольников $ADN$ и $NCC1$ (эти треугольники равны по двум катетам). Следовательно, сечение — ромб.

Тогда его площадь можно искать как $1 S = 2AC1 ⋅MN.$

AC21 = AD2 +DC2 + CC21 = 22+ 32+ 12 = 14

Пусть $K$ — середина $A1M.$ Тогда $A1D ∥ KN ⇒ KN = A1D$ и $KN ⊥ A B . 1 1$

2 2 2 2 2 A1D =AA 1+ AD = 1 + 2 = 5 KN2 = A1D2 = 5 MN2 = KN2 +KM2 = 5+ 12 = 6

Таким образом, площадь сечения равна

1 √-- √ - √-- S = 2 ⋅ 14⋅ 6= 21.

Ответ:

б) $√ -- 21$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#130117Максимум баллов за задание: 3

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $AD =2AA1, AB = 3AA1.$ Плоскость $α$ проходит через вершины $A$ и $C1$ и пересекает ребро $CD$ в точке $N$ такой, что $DN = 2NC.$

а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A1B1$ в отношении $2 :1.$

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1$ плоскостью $α,$ если $AA1 = 1.$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Пусть $CN = x,$ тогда $ND = 2x.$

Так как точки $A$ и $N$ принадлежат плоскости сечения, то плоскость $α$ пересекает нижнюю грань по отрезку $AN.$ Значит, верхняя грань пересекается по прямой, параллельной отрезку $AN.$ Пусть плоскость $α$ пересекает ребро $A1B1$ в точке $K.$

Спроецируем точку $N$ на верхнюю грань, пусть это будет точка $N1.$ Тогда $N1C1 = NC = x.$

$PIC$

Заметим, что $A1N1C1K$ — параллелограмм, так как его противолежащие стороны попарно параллельны. Значит, $A1K = N1C1 = x$ и $KB1 = 3x− x= 2x.$

Отсюда получаем

B1K 2x 2 KA1- = x-= 1

Что и требовалось доказать.

б) Так как $AA1 = 1,$ то $AD = 2, AB = 3.$

Согласно пункту а), сечением параллелепипеда плоскостью $α$ является параллелограмм $AKC1N.$

По теореме Пифагора для $△ AA K : 1$

2 2 2 AK = AA 1+ A1K √ - AK2 = 12+ 12 = 2 ⇒ AK = 2

По теореме Пифагора для $△ ADN :$

AN2 =AD2 + DN2 AN2 =22 +22 = 8 ⇒ AN = 2√2

Спроецируем точку $K$ на нижнее основание, пусть это будет $K1.$ Тогда

2 2 2 √- K1N = 2 +1 ⇒ K1N = 5

По теореме Пифагора для $△ K1KN :$

2 2 2 KN = KK 1 + K1N √ - KN2 = 1 +5 ⇒ KN = 6

$PIC$

Тогда из теоремы косинусов для $△AKN :$

2 2 2 cos∠KAN = AK--+-AN--− KN-- 2⋅AK ⋅AN √ - -2-+8-− 6- 1 --3 cos∠KAN = 2 ⋅√2⋅2√ 2 = 2 ⇒ sin∠KAN = 2

Таким образом, площадь сечения равна

√- S = AK ⋅AN ⋅sin∠KAN = √2-⋅2√2⋅ -3-=2√3- 2

Ответ:

б) $√ - 2 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания