№18 из ЕГЭ 2025

Пусть

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого рассмотрим три случая: и

• При имеем

  

  Раскроем модуль:

  

  • Если то получаем

    

  • Если то получаем

    

  Построим эскиз графика этой функции при

  

  Таким образом, в данном случае у уравнения ровно одно решение при любом Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть

  

  Следовательно, не подходит.

• Пусть Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом, в данном случае у уравнения ровно одно решение при любом Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть

  

  Так как мы рассматриваем случай получаем:

  

• Пусть Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом, в данном случае имеем:

  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

  Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от

  Пусть Тогда получаем:

  

  Так как мы рассматриваем случай получаем:

  

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Сделаем замену Получим уравнение

Проанализируем замену:

Таким образом, при будет ровно одно решение по а при будет два решения по При этом решения будут отличны от 0, так как

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай

Так как то при исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, нам подходит.

При рассмотрим дискриминант квадратного относительно уравнения

• Если то есть то

  

  Так как то при исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, нам подходит.

• Если то уравнение будет иметь два корня:

  

  Таким образом, корень обеспечит два решения по для уравнения Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень по модулю должен быть меньше 6. Следовательно,

  

  По методу интервалов:

  

  Таким образом,

  

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Пусть

Исследуем замену, то есть функцию Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра Заметим, что поэтому при любом значении параметра верно, что

У выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее и никакое решение уравнения не было бы равно

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что ;
• уравнение имеет один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

Тогда подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше, чем

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Пусть

Исследуем замену, то есть функцию Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра Заметим, что поэтому при любом значении параметра верно, что

У выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее и никакое решение уравнения не было бы равно

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что ;
• уравнение имеет один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

Тогда не подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет менее

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Пусть

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений и 0 в зависимости от значений параметра.

1.

При получаем

Раскроем модуль:

• Если то получаем

  

• Если то получаем

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом, в данном случае у уравнения ровно одно решение при любом Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть Но

Следовательно, не подходит.

2.

Пусть Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом, в данном случае имеем:

• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения ровно одно решение.

Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от

Пусть Тогда получаем:

Так как мы рассматриваем случай то получаем:

3.

Пусть Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом, в данном случае у уравнения ровно одно решение при любом Тогда от уравнения которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения:

Так как мы рассматриваем случай получаем:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Пусть

Исследуем замену, то есть функцию Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра Заметим, что при любом значении параметра верно, что

У выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 2, и при этом никакое решение уравнения не было бы равно 2.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что
• уравнение имеет один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 2 расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

• Если то тогда условие не выполняется.

  Значит, не подходит.

• Если то тогда условие выполняется:

  

  Значит, подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

Пусть

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра

Рассмотрим три случая: и

• При получаем, что Тогда имеем

  

  Раскроем модуль:

  

  • Если то получаем

    

  • Если то получаем

    

  Построим эскиз графика этой функции при

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

• При получаем, что Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

• при получаем, что Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

По условию от исходного уравнения требуется ровно одно решение. Так как замена либо дает одно и более решений, либо не дает вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее и при этом никакое решение не равнялось

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что ;
• уравнение имеет ровно один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо потребовать

При имеем:

Значит, не подходит.

При имеем:

Значит, подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение при

Заметим, что так как и — четные функции, то если уравнение будет иметь корень оно также будет иметь и корень

Таким образом, если то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, Тогда имеем:

Раскроем модуль по определению.

1.

При получаем:

2.

При получаем:

Мы получили два значения параметра Заметим, что мы использовали то, что точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра в исходное уравнение и проверить, при каких именно корень действительно будет единственным.

1.

При получаем:

Так как то При этом Следовательно, равенство может выполняться только в случае, если обе его части равны 1:

Таким образом, при уравнение действительно имеет один корень

2.

При получаем:

Так как то При этом Следовательно, равенство может выполняться только в случае, если обе его части равны 2:

Таким образом, при уравнение также имеет один корень

Для начала заменим для удобства на

Пусть левая часть уравнения — функция

Пусть правая часть уравнения — функция

Так как уравнение останется прежним, если заменить на то можем решать задачу для а затем добавить в ответ все значения противоположного знака.

Нарисуем графики этих функций в осях

Функция четная, убывает при и возрастает при При функция принимает значение

Рассмотрим функцию

Ее модули обнуляются при и Так как мы рассматриваем то

Тогда, раскрыв модули, получаем:

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на прямой Заметим, что также четна:

При этом так как ветви корыта лежат на фиксированных прямых, то при изменении параметра его дно двигается вверх/вниз, а границы дна «скользят» по этим фиксированным прямым.

Итак, нарисуем оба графика и изобразим граничные положения. Так как обе функции четны, то рисунок будет симметричен относительно оси

При вершина функции находится в точке а корыто принимает вид

то есть представляет собой галочку.

Получаем следующую картинку:

Заметим, что в таком случае получается 3 решения, то есть нам не подходит.

Далее вершина графика находится в точке а дно корыта лежит на прямой Поймем, когда вершина будет ниже дна корыта, а когда выше:

Таким образом, при вершина ниже дна при лежит на дне, при выше дна.

Когда вершина находится ниже дна корыта то очевидно при будет пересечение и а так как рисунок симметричен относительно то и при будет пересечение. Тогда решений будет как минимум 2, то есть значения нам не подходят.

Нарисуем случай Как мы уже поняли, в этом случае вершина лежит на дне корыта

Поймем, что в этом случае правая ветвь не имеет пересечений с правой ветвью корыта Действительно, во-первых, во-вторых, при функция возрастает быстрее, чем правая ветвь

Таким образом, в данном случае при графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при То есть при одна точка пересечения значит, это значение параметра подходит.

При вершина выше дна корыта Поймем, что в данном случае решений уже не будет. Так как вершина выше дна корыта то не пересекает дно корыта Покажем, что при не пересекает правую ветвь корыта

Действительно, во-первых, во-вторых, при функция возрастает быстрее, чем правая ветвь

Таким образом, в данном случае при графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при То есть при пересечений вовсе нет, значит, эти значения параметра подходят.

Объединяя подходящие значения, и добавив значения, противоположные по знаку, получаем:

Так как получаем в итоге:

Преобразуем обе части уравнения:

Пусть Заметим, что это сумма двух монотонно возрастающих функций, а значит, тоже является монотонно возрастающей.

Таким образом, мы получили

В силу монотонности можем сделать вывод, что должно быть равенство аргументов. Тогда получаем уравнение:

Пусть

Запишем в следующем виде:

Это части парабол с ветвями вверх и вершинами и

Изобразим график:

Заметим, что граничными положениями прямой являются положение 1 (горизонтальная прямая проходит через вершины парабол) и положение (горизонтальная прямая проходит через точку «склейки» парабол).

Тогда в положении 1 у данного уравнения будет ровно два корня, а в положении будет ровно три корня.

Тогда нам подходят все промежуточные значения. То есть

Для начала определим, какое семейство точек будет задавать первое уравнение системы. Оно эквивалентно следующей системе:

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

Таким образом, данная система задает на плоскости следующее семейство точек:

Заметим, что уравнение то есть задает семейство прямых, параллельных прямой Таким образом, получаем следующие граничные положения:

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

Причем имеем:

• — 1 решение
• — 2 решения
• — 3 решения
• — 2 решения
• — 1 решение
• — 2 решения
• — 1 решение

Таким образом, исходная система уравнений имеет единственное решение при

Данное уравнение равносильно системе:

Изобразим полученную систему в осях Первое уравнение совокупности задает прямую, второе уравнение совокупности задает окружность с центром в точке и радиусом

Неравенство системы задает область Тогда получаем следующую картинку:

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

Найдем координаты точек пересечения прямой с окружностью:

Таким образом, прямая пересекает окружность в точках и

Рассмотрим граничные положения горизонтальной прямой:

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при
• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при
• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при
• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при
• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при
• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

Причем имеем:

• — нет решений
• — 1 решение
• — 2 решения
• — 1 решение
• — 2 решения
• — 1 решение
• — 2 решения
• — 1 решение
• — нет решений

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при

Для начала определим, какое семейство точек будет задавать первое уравнение системы. Оно эквивалентно следующей системе:

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

Таким образом, данная совокупность задает на плоскости следующее семейство точек:

Заметим, что уравнение то есть задает семейство прямых, параллельных прямой Таким образом, получаем следующие граничные положения:

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  
• Положение — совпадение с прямой Данное положение достигается при

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

Причем имеем:

• — 0 решений
• — 1 решение
• — бесконечно много решений
• — 1 решение
• — 2 решения

Таким образом, исходная система уравнений имеет единственное решение при

Для начала определим, какое семейство точек будет задавать первое уравнение системы. Оно эквивалентно следующей системе:

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

Таким образом, данная система задает на плоскости следующее семейство точек:

Заметим, что уравнение то есть задает семейство прямых, параллельных прямой Таким образом, получаем следующие граничные положения:

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

Прямая пересекает прямую при то есть в точке

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

• Положение — прохождение через точку Данное положение достигается при

  

Причем имеем:

• — 1 решение
• — 2 решения
• — 3 решения
• — 2 решения
• — 3 решения
• — 2 решения
• — 1 решение

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при

Преобразуем первое уравнение системы:

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

Изобразим все, кроме пучка прямых

Уравнение задает пучок прямых с фиксированной точкой Отметим интересующие нас положения:

Тогда исходная система имеет единственное решение при

Рассмотрим положение I. В нем прямая проходит через точку Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

Рассмотрим положение II. В нем прямая проходит через точку Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

Рассмотрим положение III. Это горизонтальная прямая, значит,

Рассмотрим положение IV. В нем прямая проходит через точку Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

Преобразуем данное уравнение:

Тогда уравнение с условием на единственный на отрезке корень равносильно системе:

• будет является корнем уравнения при удовлетворяющим системе:

  

  Таким образом, при число является корнем на отрезке

• будет является корнем уравнения при удовлетворяющим системе:

  

  Таким образом, при число является корнем на отрезке

• Проверим совпадение и

  

Таким образом, мы получили следующее.

• При является корнем, а — нет.
• При является корнем, а — нет.
• При числа и совпадают, а значит, будет ровно один корень на отрезке

Объединив найденные значения параметра, получим, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при

Преобразуем данное уравнение:

Тогда уравнение с условием на единственный на отрезке корень равносильно системе:

• будет является корнем уравнения при удовлетворяющим системе:

  

  Таким образом, при число является корнем на отрезке

• будет является корнем уравнения при удовлетворяющим системе:

  

  Таким образом, при число является корнем на отрезке

• Проверим совпадение и

  

Таким образом, мы получили следующее.

• При является корнем, а — нет.
• При является корнем, а — нет.
• При числа и совпадают, а значит, будет ровно один корень на отрезке

Объединив найденные значения параметра, получим, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при

Уравнение имеет на отрезке одно решение, если имеет единственное решение совокупность

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, записанным с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. Следовательно, необходимо, чтобы среди чисел было ровно одно хорошее.

Найдем значения параметра, при которых каждое из чисел хорошее. Тогда противоположные значения будут говорить нам о том, когда каждое из них является плохим.

Тогда нам подходят следующие комбинации чисел, записанных в порядке

1.

Хор., пл., пл.

Таким образом,

2.

Пл., хор., пл.

Таким образом,

3.

Пл., пл., хор.

Таким образом,

4.

Какие-то из чисел совпадают:

Следовательно, также подходят

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

Уравнение имеет на отрезке одно решение, если имеет единственное решение совокупность

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, записанным с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. Следовательно, необходимо, чтобы среди чисел было ровно одно хорошее.

Найдем значения параметра, при которых каждое из чисел хорошее. Тогда противоположные значения будут говорить нам о том, когда каждое из них является плохим.

Тогда нам подходят следующие комбинации чисел, записанных в порядке

1.

Хор., пл., пл.

Таким образом,

2.

Пл., хор., пл.

Таким образом,

3.

Пл., пл., хор.

Таким образом,

4.

Какие-то из чисел совпадают:

Следовательно, также подходят

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

Преобразуем данное уравнение:

А теперь перейдем к равносильной совокупности с учетом того, что каждый корень должен попадать на отрезок

Разберемся с каждой из систем по отдельности:

• В случае первой системы мы получили, что будет корнем уравнения и попадет на отрезок при
• В случае второй системы обратим внимание на 2 и 4 условия, из них мы понимаем, что единственный возможный случай: Данное значение икса получается при а, удовлетворяющему уравнению следовательно, И оно удовлетворяет условию действительно,

Таким образом, мы получили, что первая система дает корень, удовлетворяющий условию задачи, при а вторая система дает корень, удовлетворяющий условию задачи, при

Заметим, что равен единице при а значит, корни не совпадают. Тогда получаем: