.00 №19 из ЕГЭ 2025

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 3. Действительно, положим обратное. Пусть числа и дают разные остатки при делении на 3. Тогда рассмотрим 3 числа Их среднее арифметическое — целое число, то есть их сумма кратна 3.

А теперь рассмотрим набор из чисел Их сумма также должна быть кратна 3. Но числа и дают разные остатки при делении на 3. То есть разность не делится на 3. Но разность двух чисел, кратных трем, должна делиться на 3. Противоречие.

Аналогично доказывается, что все числа на доске дают один и тот же остаток при делении на 5.

а) Заметим, что числа 305 и 1511 дают разные остатки при делении на 5. Первое число дает остаток 0, второе — остаток 1. Получили противоречие с доказанным выше фактом.

б) Если на доске есть число 305, то все числа на доске дают остаток 2 при делении на 3. Рассмотрим все возможные остатки квадратов чисел при делении на 3.

1.

Если число, дающее остаток 0 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком 0 при делении на 3.

2.

Если число, дающее остаток 1 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 3.

3.

Если число, дающее остаток 2 при делении на 3, возвести в квадрат, то получится число с остатком при делении на 3.

Как видим, ни один квадрат натурального числа не может давать остаток 2 при делении на 3. То есть выполнение данного условия невозможно.

в) Если на доске одновременно записаны числа 1 и то дает остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем так как 1 уже записано на доске. Заполним таблицу: слева будем писать число, справа — остаток его квадрата при делении на 5.

Также дает остаток 1 при делении на 3, то есть подходит. Предоставим пример. Возьмем числа

Все эти числа имеют вид то есть дают остаток 1 при делении на 3 и остаток 1 при делении на 5. Причем сумма любых 3 чисел даст остаток 0 при делении на 3 как сумма 3 чисел с одинаковыми остатками. Аналогично с суммой любых 5 чисел. То есть условие выполняется.