.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Приведем пример. Пусть записаны числа от 16 до 96 включительно. Среди них 6 чисел кратны 16: это 16, 32, 48, 64, 80, 96. При этом кратных 15 чисел ровно 5: это 30, 45, 60, 75, 90. Данный набор соответствует условию.

б) Заметим, что так как ровно 5 чисел кратны 15, то наименьшее количество чисел достигается в случае, когда набор начинается на число, кратное 15, и заканчивается на число, кратное 15. В таком случае количество чисел равно Но среди 61 последовательного числа всегда найдутся хотя бы 5 чисел, кратных 11. Противоречие.

в) Из пункта а) мы получили, что Теперь оценим наибольшее количество чисел в наборе. Поскольку чисел, кратных 15, ровно 5, то наибольшее количество чисел равно 89.

Действительно, набор должен выглядеть следующим образом:

Здесь . Так как такой набор действительно содержит ровно 5 чисел, кратных 15, и при продолжении в любую из сторон появится ещё одно число, кратное 15 (в случае при продолжении до 90).

Заметим, что для достаточно взять и получившийся набор чисел от 16 до 104 включительно. Тогда кратных 17 получится 6 чисел: 17, 34, 51, 68, 85, 102. А кратных 15 — ровно 5 чисел: 30, 45, 60, 75, 90.

Покажем, что для нельзя получить больше 5 чисел. Наименьший по количеству набор последовательных натуральных чисел, таких, что среди них ровно 6 чисел, кратных 18 — набор, состоящий из 91 последовательного числа. Действительно, такие наборы имеют вид:

Если уменьшить его, то количество чисел, кратных 18, уменьшится и станет не более 5. Но среди любых 91 последовательного числа есть хотя бы 6 чисел, кратных 15.

Таким образом,