.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 чисел 11 и одно число 50. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы увеличим число 50 на 1, то оно станет равным 51 и будет стёрто с доски, а числа 11 увеличатся на 1 и станут 12. На доске останется 19 чисел 12 с новым средним арифметическим

Таким образом, среднее арифметическое уменьшилось с 12,95 до 12.

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 24, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 17, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего будет меняться сумма:

– к оставшимся прибавили по 1, то есть прибавили

– число 50 стало равно 51 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Значит, получили противоречие, ведь — целое число.

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 17.

в) Пусть — количество чисел, которые были увеличены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 50, а после увеличения стали равны 51).

Тогда на доске осталось чисел. Новая сумма равна

Так как все числа на доске больше 10, то минимальное значение, которое могут принять числа, равно 11. А значит, после увеличения чисел на 1 каждое из оставшихся чисел будет хотя бы 12. Получим ограничение на новую сумму:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое убывает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, минимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 50, 10 чисел 12 и 4 числа 15. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

После того, как все числа увеличатся на 1, все 6 чисел 50 становятся равными 51 и стираются. На доске останутся 10 чисел 13 и 4 числа 16.

Среднее арифметическое чисел станет равно: