.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 чисел 11 и одно число 50. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы увеличим число 50 на 1, то оно станет равным 51 и будет стёрто с доски, а числа 11 увеличатся на 1 и станут 12. На доске останется 19 чисел 12 с новым средним арифметическим

Таким образом, среднее арифметическое уменьшилось с 12,95 до 12.

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 24, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 17, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего будет меняться сумма:

– к оставшимся прибавили по 1, то есть прибавили

– число 50 стало равно 51 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Значит, получили противоречие, ведь — целое число.

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 17.

в) Пусть — количество чисел, которые были увеличены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 50, а после увеличения стали равны 51).

Тогда на доске осталось чисел. Максимальная возможная новая сумма равна (если увеличили все числа).

Так как все числа на доске больше 10, то минимальное значение, которое могут принять числа, равно 11. Получим ограничение на новую сумму:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое убывает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, минимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

В этом случае изначально на доске было написано 7 чисел 50. Значит сумма оставшихся 13 чисел равна Получили противоречие, так так все числа больше 10 и минимальная сумма 13 чисел равна

Рассмотрим случай

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 50, 10 чисел 12 и 4 числа 15. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

Пусть все числа увеличатся на 1, тогда все 6 чисел 50 становятся равными 51 и стираются. На доске останутся 10 чисел 13 и 4 числа 16.

Среднее арифметическое чисел станет равно: