.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 чисел 45 и одно число 6. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы уменьшим числа на 1, то с доски будет стерто одно число 5 и останется 19 чисел 44. Среднее арифметическое станет

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 32, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 39, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего могла меняться сумма:

– из оставшихся чисел вычли по 1, то есть вычли

– число 6 стало равно 5 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Значит, получили противоречие, ведь — целое число.

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 39.

в) Пусть — количество чисел, которые были уменьшены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 6, а после уменьшения стали равны 5).

Тогда на доске осталось чисел. Новая сумма равна

Так как все числа на доске после уменьшения не превосходят 44, то максимальное значение, которое могут принять числа, равно 44. Получим ограничение на новую сумму:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое возрастает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, максимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 6, 13 чисел 45 и одно число 19. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

После того, как все числа уменьшили на 1, все 6 чисел 6 становятся равными 5 и стираются. На доске остаются 13 чисел 44 и одно число 18.

Среднее арифметическое чисел станет равно: