.00 №19 из ЕГЭ 2025

а) Рассмотрим пример: изначально на доске было 19 единиц и одно число 40. Среднее арифметическое этих чисел равно

Если мы увеличим только число 40 на 1, то оно станет равным 41 и будет стёрто с доски. На доске останется 19 единиц с новым средним арифметическим

Таким образом, среднее арифметическое уменьшилось с 2,95 до 1.

б) Так как среднее арифметические чисел было равно 14, то сумма чисел на доске была равна:

Пусть было стёрто чисел. Тогда на доске осталось чисел. Так как среднее арифметическое чисел стало 7, то их сумма стала равна:

Поймем, из-за чего могла меняться сумма:

– к числам из оставшихся прибавили по 1, то есть прибавили при этом

– число 40 стало равно 41 и его стерли, то есть вычли

Таким образом,

Если то

Значит, получили противоречие, ведь

Если то

Значит, получили противоречие, ведь

Следовательно, новое среднее арифметическое не могло равняться 7.

в) Пусть — количество чисел, которые были увеличены на 1 и в результате стёрты (то есть изначально равнялись 40, а после увеличения стали равны 41).

Тогда на доске осталось чисел. Минимальная возможная новая сумма равна (если увеличили только те числа, которые были стёрты).

Из условия, что все числа натуральные, получаем ограничение:

Новое среднее арифметическое:

Среднее арифметическое убывает при возрастании поскольку знаменатель дроби уменьшается.

Следовательно, минимальное среднее арифметическое достигается при максимальном

Приведем пример. Пусть на доске написано 6 чисел 40, 10 чисел 2 и 4 числа 5. Начальное среднее арифметическое чисел равно:

Увеличим на 1 все 6 чисел 40 (они становятся равными 41 и стираются). На доске останутся 10 чисел 2 и 4 числа 5.

Среднее арифметическое чисел станет равно: