Тема Физтех - задания по годам

Физтех 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#110253Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

3∘ x2 6√--2 -------22-−--4x-------≥ 0. (x2 − 4|x|) − 8x2+ 32|x|− 48

Источники: Физтех 2019, 11.2 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатель выглядит страшно.. квадраты, модули, квадраты модулей, брр. Давайте попробуем как-нибудь его упросить. На что похож наш знаменатель?

Подсказка 2

На квадратное уравнение относительно x^2-4|x|. Попробуйте разложить его на множители исходя из этого.

Подсказка 3

Теперь нам надо разобраться с числителем. Вспомните, что у нас неравенство, а не уравнение, и замените числитель на выражение, которое совпадает с ним знаком.

Подсказка 4

Разность кубические корней двух чисел имеет тот же знак, что и обычная разность этих чисел! Теперь осталось только воспользоваться методом интервалов!

Показать ответ и решение

Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде

( 2 )2 (2 ) x − 4|x| − 8x − 4|x| − 48

А если обозначить $x2− 4|x|=t,$ то в виде

2 t − 8t− 48= (t− 12)(t+4)

Если вернуться обратно к переменной $x,$ выходит выражение

(x2− 4|x|− 12)(x2 − 4|x|+ 4)=(|x|− 6)(|x|+ 2)(|x|− 2)2

Итак, исходное неравенство равносильно следующему

3∘ x2− 3∘2|x| ------2----------2-≥ 0 (|x|− 6)(|x|+2)(|x|− 2)

В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.

Заметим, что знак выражения $3√a −√3b$ совпадает со знаком выражения $a− b$ при любых $a$ и $b;$ выражение $|a|− b$ при $b< 0$ положительно, а при $b>0$ его знак совпадает со знаком выражения $a2− b2 = (a− b)(a+ b).$ Следовательно, неравенство равносильно

x2 --2-2-−-2|x2|--2 ≥ 0 (x − 36)(x − 4)

---|x|(|x|− 4)-- (x2− 36)(x2− 4)2 ≥ 0

x2(x− 4)(x+4) (x−-6)(x+-6)(x−-2)2(x+-2)2 ≥ 0

Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт

x∈ (−∞;−6)∪ [−4;−2)∪(−2;2)∪(2;4]∪(6;+ ∞)

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− 4;−2)∪ (− 2;2)∪(2;4]∪ (6;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#120055Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства $(x2 − ax+ 2x− 2a)√5-− x-≤0$ найдутся два решения, разность между которыми равна $5?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом нам в глаза должен броситься корень. При каких x он определен? Запишем ОДЗ! А какие значения по знаку вообще может принимать арифметический корень?

Подсказка 2

Итак, наше ОДЗ это x ≤ 5. Причем корень всегда неотрицателен, кроме случая x = 5. Его можно разобрать отдельно. При x < 5 нужно подумать, как же упростить наше неравенство.

Подсказка 3

При x < 5 корень будет положительный: поэтому на него можно сократить! Теперь у нас осталось одно выражение из скобок. А каким оно является относительно x?

Подсказка 4

Выражение из скобок является квадратным относительно x. Тогда по сути его можно решать как обычное, не обращая внимание на то, что у нас присутствует a.

Подсказка 5

Решаем x² + x(2-a)-2a ≤ 0. Для этого нужно посмотреть, куда направлены ветки этой параболы и аккуратно найти корни такого трехчлена при помощи дискриминанта! Не пугайтесь буквы a ;)

Подсказка 6

У нас получится 2 корня, которые выражаются в том числе через |2+a|. Самое время вспомнить ОДЗ! Нам подходят x≤ 5. Значит, надо разобрать 3 случая, где же относительно x₁ и x₂ лежит 5 на прямой (между ними, слева от них или справа). Может случиться и такое, что нам не подходит ни один x по ОДЗ, не удивляйтесь этому!

Подсказка 7

Так как в выражении корней присутствует |2+a|, то придётся разбирать еще по 2 подслучая того, как раскрывается этот корень (со знаком - или со знаком +).

Показать ответ и решение

Начнём с ОДЗ: $x ≤5.$

Заметим, что неравенство всегда выполняется при $√---- 5− x= 0,$ то есть при $x= 5.$ Далее будем считать, что $x <5,$ тогда на $√---- 5− x$ можно сократить.

2 x +x(2− a)− 2a≤ 0

2 2 D = (2− a) +4⋅2a= (2+ a)

(|{ −(2− a)+-|2+-a| x1 = 2 |( x2 = −(2− a)−2-|2+-a|

Так как парабола с ветвями вверх, то решением неравенства с учётом ОДЗ будет:

{ x2 ≤ x≤ x1 x< 5

Мы точно знаем, что $x2 ≤ x1.$ Рассмотрим 3 варианта: где относительно $x1,x2$ может располагаться 5.

Вариант 1. Пусть $5≤ x2 ≤ x1.$ Тогда с учётом ОДЗ неравенство имеет одно решение $x =5.$ Но оно не подходит под условие, так как корень всего один.

Вариант 2. Пусть $x2 ≤ 5≤ x1.$ С учётом ОДЗ решением будет $x ∈[x2; 5].$ Чтобы нашлось два решения, между которыми разница 5 необходимо и достаточно, чтобы $5− x2 ≥ 5.$

Рассмотрим два случая при раскрытии модуля $|a+ 2|.$

Случай 1. Пусть $2 +a ≥0.$ Тогда

{ x1 = a x2 = −2

Запишем все необходимые условия данного случая:

(| −2≤ 5≤ a { 5− (−2)≥ 5 |( 2+a ≥0

Решением является $a∈[5;+ ∞).$

Случай 2. Пусть $2 +a <0.$ Тогда

{ x1 = −2 x2 = a

Запишем все необходимые условия данного случая:

(| a≤ 5≤ −2 { 5− a≥ 5 |( 2+ a< 0

Решений нет.

Вариант 3. Пусть $x2 ≤ x1 ≤ 5.$ С учётом ОДЗ решением будет $x ∈[x2; x1]∪ {5}.$ Чтобы нашлось два решения, между которыми разница 5 необходимо выполнение одного из условий: