Физтех 2013

Для того, чтобы число делилось на необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на и на . Для делимости на нужно, чтобы последняя цифра числа была или Значит, полученное число будет делиться на если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдём к делимости на .

Если в числе заменить все цифры и на , цифры на а цифры на то остаток от деления числа на не изменится (остаток от деления числа на равен остатку от деления суммы цифр этого числа на ). Нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа так, чтобы полученное число делилось на . Сумма цифр числа равна . Чтобы после вычёркивания сумма цифр делилась на , мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль.

а) Количество способов вычеркнуть две единицы равно

б) Количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно

Но в пункте (б) мы подсчитали способ, при котором вычеркнуты последние две цифры. Такого допускать нельзя, чтобы не нарушить делимость на . Этот способ нужно вычесть. Так что в итоге получаем способов.