Физтех 2013

Для того, чтобы число делилось на необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на и на . Для делимости на нужно, чтобы последняя цифра числа была или Значит, полученное число будет делиться на если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдём к делимости на .

Если в числе заменить все цифры и на , цифры на а цифры на то остаток от деления числа на не изменится (остаток от деления числа на равен остатку от деления суммы цифр этого числа на ). Нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа так, чтобы полученное число делилось на . Сумма цифр числа равна . Чтобы после вычёркивания сумма цифр делилась на , мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль.

а) Количество способов вычеркнуть две единицы равно

б) Количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно

Но в пункте (б) мы подсчитали способ, при котором вычеркнуты последние две цифры. Такого допускать нельзя, чтобы не нарушить делимость на . Этот способ нужно вычесть. Так что в итоге получаем способов.

Прямоугольник можно задать 4 прямыми вида , , , . Пусть не умаляя общности и . По условию и . Отсюда для у нас 13 вариантов, для у нас вариантов, для у нас 21 вариант и для у нас вариантов.

Получаем ответ .

ОДЗ:

Вынесем из оснований и аргументов логарифмов показатели степеней, получим

Что эквивалентно равенству

Получается , но только входит в ОДЗ исходного уравнения.

Пусть — центр сферы — основания перпендикуляров, опущенных из точки на ребра соответственно; — высота пирамиды и — радиусы сфер и соответственно.

a) Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. Аналогично и Значит, поэтому точка является центром сферы . Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю.

b) Из равенства прямоугольных треугольников , и — общая сторона) следует, что Поскольку точки — это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно, по катету и гипотенузе, откуда ). Но в пирамиде боковые рёбра также равны между собой как радиусы сферы ; значит, и её высота, проведённая из вершины проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды проходит через точку Кроме того, точка является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник прямоугольный, — это середина гипотенузы Так как отрезок перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу сферы

Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник Точка — середина гипотенузы на катете находится точка причём , Треугольники , и равны по катету и гипотенузе, следовательно, Значит, Тогда из треугольника находим, что

c) поэтому треугольник — равносторонний, B равнобедренном треугольнике известны боковые стороны и угол при основании Отсюда находим, что . По теореме Пифагора для треугольника находим, что поэтому объём пирамиды равен

Если то неравенство не выполняется, поэтому Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

Рассмотрим случаи

• , здесь

  

  Пересекая с условием, имеем .

• , тогда

  

  Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

Переформулируем условие: для любых 4 школьников есть вопрос, на который никто не ответил.

Могут ли на один и тот же вопрос не ответить две четверки школьников?

Предположим, что могут. Рассмотрим две различные четверки, не ответившие на один вопрос. Они отличаются хотя бы одним участником, поэтому получаем пятерку различных школьников, не ответивших на вопрос, противоречие.

Итого для любых 4 есть уникальный вопрос, на который никто не ответил. Получаем оценку: количество вопросов не меньше количества четверок.

Количество четверок: . Пронумеруем их и сопоставим каждой по вопросу, на который все из четверки не ответили. Так как на каждый вопрос ответили 6 человек, по принципу Дирихле любые пятеро ответили на все вопросы. Получили пример на 210.

Рассмотрим выражение как квадратный трёхчлен относительно Его дискриминант равен При дискриминант отрицателен, поэтому Если то т.е. при и при В итоге получаем, что выражение обращается в ноль в точке и положительно во всех остальных точках. Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокупности Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой и левее неё, точки на прямой и правее неё, а также точку

Перейдём ко второму неравенству. Проведём на координатной плоскости прямые и Они разбивают плоскость на 4 области, в каждой из которых знаки выражений под модулями постоянны. Рассматриваем 4 случая. Если и то неравенство принимает вид Аналогично, если и то . Если и то Если и то Окончательно получаем, что при неравенство задаёт точку при квадрат с центром в точке и стороной а при пустое множество.

Очевидно, при система не имеет решений. При для того, чтобы было единственное решение, нужно, чтобы точка попадала в квадрат, но чтобы квадрат не пересекал прямую откуда следует, что т.e.

Заметим, что при делится на 5. Отсюда

Рассмотрим таблицу остатков квадратов по модулю 5:

Из таблицы видно, что квадрат не может давать остаток 2 по модулю 5, а, значит, при число не является квадратом. Осталось рассмотреть

При — не квадрат.

При — не квадрат.

При — квадрат.

Итак, наибольшее натуральное значение при котором число является точным квадратом, равно 2.