Тема ММО - задания по годам

ММО до 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#101224Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

( x +2x + 2x +...+ 2x = 1, ||||| x1+3x2+ 4x3+...+ 4x100= 2, |{ 1 2 3 100 ||| x1+3x2+ 5x3+...+ 6x100 = 3, |||( ... x1+3x2+ 5x3+...+ 199x100 =100.

Показать ответ и решение

Давайте перепишем систему следующим образом: Сначала запишем $1$ уравнение, потом второе, из которого вычли первое, потом второе, из которого вычли третье и т.д. Получим:

(| x + 2x +2x + ...+ 2x = 1, ||||| 1 2 3 100 |||{ x2+ 2x3+2x4+ ...+ 2x100 = 1, | x3+ 2x4+2x5+ ...+ 2x100 = 1, ||||| ... |||( x99+ 2x100 = 1 x100 =1.

Видно, что $x = −1, 99$ а значит $x = 1. 98$ Заметим, что дальше продолжится это чередование. Следовательно, $x = 1 2k$ и $x = −1. 2k−1$

Ответ:

$x = 1,x = −1, 2k 2k−1$ для $k$ от $1$ до $50$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#97433Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Источники: ММО, 1949, 8.2

Показать доказательство

Очевидно, что центр масс при симметрии относительно оси симметрии переходит в себя. Тогда любая ось должна проходить через него.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#42963Максимум баллов за задание: 7

Найдите все прямые в пространстве, проходящие через данную точку $M$ на данном расстоянии $d$ от данной прямой $AB$ .

Источники: ММО-1947, 9-10.5, (см. mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте попробуем сначала разобраться с простым случаем, чтобы нам было понятнее, что происходит. Есть точка в пространстве. И прямая в пространстве. И если расстояние от самой точки до прямой уже d, то какой был бы ответ?

Подсказка 2!

Верно, это была бы плоскость через точку, параллельная АВ. Так, а если расстояние от точки до плоскости меньше d?

Подсказка 3!

Хорошо, с этим тоже разобрались. Такого гмт бы не существовало. Давайте теперь посмотрим на сложный случай. Чтобы расстояние было равно d, попробуем построить одну такую прямую. Возьмем вокруг AB "оболочку" ширины d. получится такой цилиндр радиуса d. И вам нужна прямая, которая будет проходить через точку m, а еще касаться такого цилиндра(осознайте, почему?). Осталось немного, разобраться, как построить такое гмт!

Показать ответ и решение

Если точка сама находится на расстоянии $d$ от $AB$ , то подойдёт вся плоскость $α∥AB$ , $M ∈α$ (то есть любая прямая $ℓ: ℓ∈ α,M ∈ℓ$ . Если расстояние $ρ(M,AB)< d$ , то таких прямых нет. Иначе это прямая, которая касается цилиндра с осью $AB$ и проходит через $M$ . Чтобы задать такие прямые, построим касательную плоскость к цилиндру, которая содержит $M$ — в силу симметрии их будет две $β1,β2$ . В итоге нам подойдут все $ℓ∈ β1∪β2,M ∈ℓ$ . Нетрудно видеть, что в случае равенства $ρ(M,AB )= d$ плоскости просто совпадают.

Ответ:

Если $ρ(M,AB )≥d$ , то это все $ℓ: ℓ∈β ∪ β,M ∈ ℓ 1 2$ , где $β i$ — касательные плоскости к цилиндру с осью $AB$ и радиусом $d$ , при этом $M ∈ β1∩β2$ .