Иннополис 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Нынешний год — високосный, то есть 
февраля 
г. 
— реальная календарная дата. Сколько (вещественных) корней (и
какой кратности) имеет уравнение 
Источники:
Подсказка 1
Рассмотрим функцию f(x) = x³ + 29x² + 2x + 20. Давайте начнем с того, имеет ли она хотя бы 1 корень.
Подсказка 2
Это кубическая функция с положительным коэффициентом при старшей степени. Если взять какой-то достаточно малый x, значение будет отрицательным, аналогично можно получить и положительное значение. Следовательно, функция хотя бы 1 раз пересекает ось OX и имеет 1 корень. Как, исходя из этого, можно доказать наличие других корней?
Подсказка 3
Если она в каком-то месте перегнется, то, возможно, вновь пересечет ось OX и будет новый корень. Посмотрите на производную этой функции.
Подсказка 4
f'(x) = 3x² + 58x + 2. x₁¸₂ = ( -29 ± √835 ) / 3. Это точки перегиба функции. Попробуйте посмотреть, какие значения f принимает в них. Заметьте, что для упрощения вычислений в f можно выделить производную (в точках x₁ и x₂ она равна нулю).
Подсказка 5
У вас получится x₂ < x₁, f(x₁) > 0, f(x₂) > 0. Разделите прямую на 3 части точками x₁ и x₂ и поймите, возрастает/убывает ли там функция, какие значения принимает (положительные/отрицательные).
Рассмотрим функцию 
Это кубическая функция с положительным коэффициентом при старшей степени, то есть
при очень маленьких значениях аргумента(например, при 
) функия будет отрицательной, а при очень больших значениях
аргумента — положительной. Таким образом, функция имеет хотя бы один корень. Осталось проверить, есть ли ещё корни. Рассмотрим
производную:
Найдём её корни: дискриминант квадратного уравнения 
равен 
откуда
Тогда корни равны 
и 
Теперь посчитаем значение 
в точках 
и 
В этих точках производная равна нулю, поэтому попробуем выделить её для
упрощения вычислений:
Получается,
Заметим, что 
откуда 
— отрицательное число, которое при умножении на отрицательное 
становится положительным. Таким образом, 
— это сумма двух положительных чисел, то есть 
Теперь подставим
Так как 
то 
Отсюда, аналогично рассуждениям про 
получаем 
Итак, 
и 
Получается, что 
возрастает на промежутке ![(−∞;x2].](/api/latex-service/v1/GetSession/257711/index-695caded6d9ac7585093d81c45db2502.svg)
При этом функция отрицательна на
очень маленьких значениях из этого промежутка и положительна в точке 
откуда функция равна нулю на какой-то точке этого
промежутка. Далее, функция убывает на ![[x2;x1],](/api/latex-service/v1/GetSession/257711/index-ab8629f5668f81d292e3508f469d0def.svg)
при этом она положительна в этих точках, а, значит, положительна и на всём этом
промежутке. Наконец, 
возрастает на 
то есть для любого 
выполняется, что 
откуда на этом
промежутке функция так же положительна.
Таким образом, уравнение 
имеет ровно один вещественный корень.
Не более одного вещественного корня
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
