Формула единства 2020
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В противоположных углах шахматной доски стоят Красная и Белая Королевы. Раз в минуту они случайным образом переходят на соседнюю по стороне клетку (одна только вправо или вверх, другая только влево или вниз). Какова вероятность, что они одновременно окажутся в одной клетке (и будут стоять там вместе в течение минуты)?
Источники:
Подсказка 1
Обе королевы начинают в противоположных углах и движутся навстречу друг другу. Сколько ходов потребуется каждой, чтобы достичь центра доски? Как это связано с вероятностью встречи? Подумайте о симметрии)
Подсказка 2
Каждая королева может двигаться только в 2 направлениях. Сколько всего существует различных путей для каждой из них за 7 ходов? Как посчитать количество «совпадающих» траекторий?
Подсказка 3
Все возможные точки встречи лежат на центральной диагонали. Для каждой клетки на этой диагонали вычислите число путей обеих королев до неё. Как использовать биномиальные коэффициенты С для этого?
Подсказка 4
Общее число возможных траекторий для двух королев - 2¹⁴. Сколько из них приводят к встрече? Чтобы получить итоговую вероятность, осталось досчитать ручками)
Допустим, что королевы встретились в одной клетке. Заметим, что «расстояние в ходах королев» между противоположными углами равно
поэтому встретились королевы в момент, когда каждая совершила по 
ходов. Траектории двух королев, взятые вместе, образуют
-звенную ломаную. Количество таких ломаных равно 
(чтобы задать ломаную, надо выбрать, какие 
из 
звеньев
вертикальны), и это и есть количество подходящих способов движения королев. Общее же количество способов движения за
ходов равно 
и они равновероятны (каждая королева в каждый момент выбирает одно из направлений
движения; оба направления возможны, поскольку они ещё не упёрлись в край доски). Значит, искомая вероятность равна
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Возможно и такое рассуждение, приводящее к другой форме ответа. Все клетки, удалённые от углов на равное число ходов (а именно на
ходов), лежат на диагонали доски. Для каждой клетки диагонали найдём количество ситуаций, при которых обе королевы за 
ходов
дошли до неё. Пусть 
— номер клетки на диагонали (от 
до 
тогда число путей для любой из королев до этой клетки равно 
(из
ходов 
в одном направлении, остальные в другом). Столько же способов для другой королевы. Значит, всего есть 
способов
встретиться в этой клетке. Суммируя количество способов встретиться на каждой из клеток и деля на общее количество ситуаций, получаем
вероятность 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
