Тема Турнир Ломоносова - задания по годам

ТурЛом до 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела турнир ломоносова - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94423

Среди чисел $a,b,c$ есть два одинаковых. А оставшееся число — другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв $a,b,c,$ знаков $+,$ $−,×,:$ и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче надо просто поиграться с выражениями. Пусть b=c. Попробуйте рассуждать от обратного. Рассмотрите a и попробуйте превратить его в дробь, например, умножив и поделив на что-то. Помните, что любое выражение можно усложнить, добавив что-то, умноженное на b - c.

Показать доказательство

Например, подойдёт такой вариант ( $b= c):$

a(a− b)(a-− c)+-b(b−-a)(b− c)+-c(c−-a)(c− b) (a− b)(a− c)+ (b − a)(b− c)+(c− a)(c− b)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#49149

Все коэффициенты многочлена $P(x)$ — целые числа. Известно, что $P(1)= 1$ и что $P(n)= 0$ при некотором натуральном $n$ . Найдите $n.$

Источники: Турнир Ломоносова-2001, 10-11.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задании фигурирует многочлен с целыми коэф-ами, а тем более два его значения, то Вам должна вспоминаться теорема Безу, которую и следует тут применить.

Подсказка 2

Р(n)-Р(1) делится на n-1, в то же время оно равно -1. Теперь остается вспомнить, что n - это натуральное число :)

Показать ответ и решение

Воспользуемся теоремой Безу