Тема ОММО - задания по годам

ОММО 2012

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49766Максимум баллов за задание: 7

Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет равенству

f(x +3)= x+ 2− f(x),

а при $x∈ [− 3;0)$ задаётся формулой $f(x)= x2$ . Найдите $f(2012).$

Источники: ОММО-2012, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия видно, что мы можем с помощью "наращивания" искать значения от сколь угодно больших аргументов, но нам бы хотелось делать это еще и как-то удобно и быстро. В этом нам мешает слагаемое x в выражении f(x+3)=x+2-f(x). Но, кажется, при повторении этой операции из-за минуса x должен уйти...

Подсказка 2

Действительно, f(x+6)=3+f(x). Тогда с помощью индукции можно установить, что f(x+6k)=3k+f(x). Как нам тогда найти f(2012)?

Подсказка 3

f(2012)=f(2+6*335), поэтому f(2012)=1005+f(2). Найдите f(2) и завершите решение!

Показать ответ и решение

Применим условие дважды

f(x +6)= x+ 3+ 2− f(x+ 3)= x+5 − x− 2+ f(x)= f(x)+3

Используя это, получим

f(2012)= f(335⋅6+ 2)=f(2)+335⋅3= −1+ 2− f(− 1)+ 1005 =1005

Ответ:

$1005$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69858Максимум баллов за задание: 7

На первом складе в каждом ящике в среднем по 3 бракованных изделия, а на втором складе — по 6. С первого склада на второй перевезли 50 ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на 1. Сколько всего ящиков на двух складах?

Источники: ОММО-2012, номер 2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, что количество бракованных деталей от перевозки ящиков не поменялось, а значит, данная задача подразумевает подсчет двумя способами количества наших бракованных деталей. Подумайте, как его тут можно реализовать и использовать?

Подсказка 2

Если мы обозначим количество ящиков за m для первого завода и за n для второго, то в первоначальном состоянии у нас было 3m и 6n бракованных деталей. После перевоза ящиков на первом заводе их стало m-50, а на втором n+50, при этом количество бракованных деталей на каждый ящик стало 2 и 5 соответственно. Зная всё это, составьте и решите уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть на первом складе было $m$ ящиков, а на втором $n$ . Бракованных деталей при этом имелось в общей сложности $3m$ на первом складе и $6n$ на втором. После того, как ящики перенесли, средние значения стали равны $2$ и $5$ , а ящиков стало $m − 50$ и $n+ 50$ соответственно. Общее число бракованных деталей теперь равно $2(m − 50)+5(n+ 50)$ , но оно осталось прежним, то есть равным $3m + 6n$ . Приравнивая обе величины, получаем $m +n =150$ и это есть общее число ящиков на двух складах вместе.

Ответ: 150

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77811Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| -xy-= 1; |{ x+yzy ||( y+xzz = 2; x+z = 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что мы можем здесь сделать. Если не брать правые части уравнений, то выражения симметричны относительно переменных, которые в нем содержатся(хотя это вовсе не значит, что система симметрична). Это значит, что мы можем каким-то образом привести наши уравнения к нужному виду так, чтобы наши выражения относительно каждой из переменных были симметричны(то есть, на данный момент у нас в левой части каждого уравнения находится некоторое выражение, которое зависит и от x и от y(к примеру), а мы хотим, чтобы слева была сумма двух структурно одинаковых выражений, каждое из которых зависит только от одной переменной, ведь тогда мы сможем, сделав замену, просто-напросто решить линейную систему и все). Как это можно сделать?

Подсказка 2

Попробуйте перевернуть каждую из дробей слева и написать систему в виде (x + z)/xz = 1/3. Как тогда можно по-другому написать каждое из наших выражений слева, чтобы получилась сумма, структурно одинаковых выражений?

Подсказка 3

Верно, нужно расписать каждую дробь, как сумму обратных к переменным. Тогда, у нас получится система линейных уравнений на три переменных, которую мы умеем решать.

Показать ответ и решение

"Перевернём" каждое из уравнений системы:

(| x+y =1 |{ yx+yz 1 ||( xyz+z= 21 xz = 3

Преобразование равносильно, т.к. ни одна из правых частей не может обратиться в ноль.

Заметим, что $x+y = 1 + 1 xy x y$ и т.д.

Поэтому мы получили систему линейных уравнений на $1 1 x,y$ и $1 z.$

Решая её, получаем $1 -5 1 -7 1 1- x =12,y = 12,z = − 12.$

Ответ:

$(12;12;− 12) 5 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91928Максимум баллов за задание: 7

Длина медианы $AD$ треугольника $ABC$ равна 3, длины сторон $AB$ и $AC$ — 5 и 7 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие крутые дополнительные построения, связанные с медианой, мы с Вами знаем?

Подсказка 2

Например, можно удвоить медиану и получить параллелограмм.

Подсказка 3

Что можно сказать о площадях получившихся треугольников?

Подсказка 4

Некоторые из них будут равновеликими. Значит, можно вычислить площадь более "удобного".

Подсказка 5

Как найти площадь треугольника, все стороны которого известны?

Подсказка 6

Воспользуйтесь формулой Герона.

Показать ответ и решение

Продлим медиану $AD$ за точку $D$ до точки $A ′$ такой, что $AD = DA′.$

$PIC$

Получим треугольник $ABA′$ , равновеликий исходному, со сторонами 5,6 и 7. Его площадь легко найти по формуле Герона:

SABC =SBDA ′ =∘9-⋅(9− 5)⋅(9−-6)⋅(9−-7)= 6√6

Ответ:

$6√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91932Максимум баллов за задание: 7

На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$ , а на другой – точка $C$ . При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA = 1,OB = 5?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах бывает полезно сделать какие-то дополнительные построения, на рисунке ведь почти ничего полезного нет. Какую конструкцию хочется добавить на картинку, чтобы одновременно и воспользоваться длинами отрезков, и было что-то связанное с углами?

Подсказка 2

Кажется, какие-то прямые строить не хочется, иначе уйдём в тяжёлый счёт, пытаясь связать длины отрезков с углами. Может быть, у нас есть на примете какие-то кривые?

Подсказка 3

Тут неплохим вариантом кажется построение окружности через точки A и B, касающейся другой стороны угла.

Подсказка 4

Кажется, что точка касания стороны угла и окружности и будет той самой точкой C, при которой угол ACB — максимален. Давайте попробуем это доказать.

Подсказка 5

Если мы возьмём точку, отличную от точки касания, то предполагаемый угол будет отсекать от окружности две дуги. Как градусная мера угла связана с градусными мерами этих дуг?

Подсказка 6

Такой угол равен полуразности большей и меньшей дуг, которые он отсекает. А значит, будет меньше угла ACB, где C — точка касания окружности и прямой. Осталось лишь найти величину отрезка OC.

Показать ответ и решение

Проведем через точки $A$ и $B$ окружность, касающуюся второй стороны угла. Если $C$ — точка касания, то угол $ACB$ равен половине дуги $AB.$ В противном случае угол $ACB$ равен полуразности дуги $AB$ и второй дуги, высекаемой углом $ACB$ — т. е. будет меньше.