Тема Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела миссия выполнима - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77216Максимум баллов за задание: 7

Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на $25%$ , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 $%.$ Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно перевести условие задачи на математический язык, введя несколько переменных и составив уравнения. Что лучше обозначить за неизвестные, чтобы использовать как можно меньше переменных и описать всю известную информацию?

Подсказка 2

Давайте считать, что х — деньги, вкладываемые в один проект, m — число всех проектов, a y — количество успешных проектов.

Подсказка 3

У нас есть ограничение на m, и мы можем выразить начальный капитал фирмы, а также количество денег, которое вернулось с удачных и неудачных проектов. Кроме того, нам известны итоги года, давайте сравним с ними данные значения.

Подсказка 4

В полученном уравнении мы можем сократить на x и выразить количество успешных проектов через общее количество. Но мы помним, что y, m — целые числа, не большие 25, тогда количество успешных проектов выражается однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — деньги, вкладываемые в один проект, $m$ — число всех проектов, $1≤ m ≤25$ . Тогда начальный капитал фирмы равен $mx$ . Пусть $y$ — количество успешных проектов, тогда ( $m− y$ ) — количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты $(m − y)x$ денег компании вернется

1 4(m− y)x

Из вложенных в успешные проекты $yx$ денег компании вернется

1 5 yx +4 yx = 4yx

По условию задачи, за год фирма увеличила свой капитал на $20%$ , то есть он составил

mx + 1mx = 6mx. 5 5

Получим уравнение:

1(m − y)x+ 5yx = 6mx, m − y +5y = 24m, 4y = 19m, 4 4 5 5 5 y =19m. 20

Среди чисел $1,2,...,25$ только $m =20$ удовлетворяет условию натуральности числа $y$ , поэтому $y =19$ .

Ответ: в 19 случаях

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77220Максимум баллов за задание: 7

Экстравагантный миллиардер Единицын решил тратить на поддержку образования каждый год одну и ту же сумму денег, равную $N$ рублей. При этом все цифры числа $N$ равны $1.$

а) В первый год к нему обратились $3$ университета, и он смог разделить эту сумму между ними поровну. Во второй год к нему обратилось уже $9$ университетов, и Единицын также смог разделить деньги между ними поровну. Какую сумму тратил миллиардер на поддержку образования каждый год?

б) Если предположить, что денег у Единицына неограниченно, то смог бы он выделить такую сумму $N,$ чтобы её можно было разделить поровну между $43$ университетами?

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Какой щедрый миллиардер! Что мы можем сказать про сумму, которую он ежегодно тратит на поддержку университетов, если её можно поровну поделить и на 3, и на 9?

Пункт а, подсказка 2

Верно, эта сумма делится на 9. Подумайте, когда число, состоящее из единиц, кратно девяти.

Пункт а, подсказка 3

Тут надо вспомнить признак делимости на девять: число кратно девяти, если сумма его цифр кратна девяти. А чему равна сумма цифр нашего числа?

Пункт а, подсказка 4

Число N состоит из одних единиц, следовательно, сумма его цифр равна количеству этих цифр!

Пункт б, подсказка 1

Сложно найти число, делящееся на 43, в бесконечной последовательности чисел 1, 11, 111, 1111... Не делить же каждое из них на 43 по очереди, и в целом рассмотрение каждого числа по отдельности ничего нам не даст. Попробуйте посмотреть на какие-нибудь пары этих чисел, некоторым образом связанные по модулю 43.

Пункт б, подсказка 2

Есть ли среди чисел, состоящих из одних единиц, те, что имеют одинаковый остаток по модулю 43?

Пункт б, подсказка 3

Есть! Ведь чисел бесконечно много, а вариантов для остатка всего 43. Тогда рассмотрим два числа из последовательности, имеющие одинаковые остатки при делении на 43. Подумайте, что можно сказать про разность таких чисел? Какой вид она имеет?

Пункт б, подсказка 4

Конечно, она делится на 43. Супер, мы нашли число, кратное 43. Но ведь оно не имеет нужный вид... А какой вид оно вообще имеет?

Пункт б, подсказка 5

На самом деле это число имеет вид 11..10..0. То есть является произведением какого-то числа Х из нашей последовательности и степени десятки. А делится ли Х на 43?

Показать ответ и решение

a) Заметим, что подходят только числа $N$ , содержащие $9k, k ∈ℕ$ единиц, чтобы была делимость на $3$ и $9$ . То есть подходят $109k−1 N = 9 , k∈ ℕ.$

б) Да, смог бы. Рассмотрим числа вида $1,11,111,....$ Их бесконечно много, поэтому остатки от деления на $43$ где-то повторятся. Тогда разность большего и меньшего этих двух чисел имеет вид $m d= 1...10...0= 1...1⋅10$ , и она делится на $43$ . И так как $43$ не делится на $10$ , то и $-d- 10m$ делится на $43$ и имеет вид $1 ...1.$

Ответ:

а) $109k−1, k ∈ℕ. 9$

б) да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84146Максимум баллов за задание: 7

В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее $2 3$ ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в $12 11$ раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть х – число изначальных сторонников изменения, как мы можем оценить х с учётом того, что изначально статус компании не изменился?

Подсказка 2

Теперь сторонников стало больше, и статус компании все же поменялся. Какое неравенство мы можем составить?

Подсказка 3

Мы получили две оценки на х, остается лишь учесть, что х – целое число, и получить ответ)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию $x< 2⋅200= 1331, 3 3$ а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как $x$ — целое, то $x≤ 133.$

С другой стороны, через год стало $12 11x$ сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство

12 400 11x≥ -3-

То есть $x≥ 11090= 12229.$ Так как, $x$ — целое, то $x ≥123.$

Из условия следует, что $12x 11$ — целое, значит, $x ... 11.$ Таким образом, нужно найти число $x$ , делящееся на $11,$ которое удовлетворяет условию $123≤ x≤ 133.$ Легко видеть, что это единственное число $132.$

Ответ: 132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97444Максимум баллов за задание: 7

При осеннем сборе урожая собрали $200$ ящиков яблок и рассортировали. На консервный завод отправили более $8%,$ но менее $14%$ ящиков от их общего количества. $52%$ от оставшихся ящиков отправили в магазины, а остальные ящики с яблоками — на хранение. Сколько процентов ящиков с яблоками от общего их количества отправили на хранение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько ящиков могли оправить на завод? Давайте оценим это количество y.

Подсказка 2

0.86*200 < y < 0.92 * 200. Так мы сможем понять, сколько же ящиков могли увезти. Давайте обратимся к здравому смыслу. Если в задаче сказано, что 0.52y увезли, то что можно сказать про это число?

Подсказка 3

Оно целое! Осталось понять, при каком y 0.52y будем целым!

Показать ответ и решение

Пусть $y$ — количество ящиков яблок, которые отправили в магазины и на хранение.

Из условия задачи следует

0,86 ⋅200< y < 0,92⋅200

172< y < 184

Итак, возможны следующие варианты:

y =173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183

Поскольку $0,48y$ является целым числом, то $y =175$ , а $0,48y =84$ . На хранение отправили 84 ящиков яблок, то есть $42%$ .

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97446Максимум баллов за задание: 7

На собеседовании $39$ претендентам на должность финансового аналитика было предложено пройти три испытания. Первое испытание не прошел $21$ человек, второе — $23$ человека, а третье — $20$ человек. Хотя бы одно из первых двух испытаний не прошел $31$ претендент, из первого и третьего — $30$ претендент, из второго или третьего — $31$ претендент. На работу взяли всех, кто успешно справился со всеми испытаниями. Сколько человек были приняты на работу, если $7$ претендентов не справились ни с одним из испытаний?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас будет очень много неизвестных и уравнений. Надо ввести их таким образом, чтобы не запутаться еще сильнее!

Подсказка 2

Пусть xᵢ — количество кандидатов, не справившихся с i-ым испытанием, xᵢⱼ — не справившихся ни с i-ым, ни j-ым испытаниями, x₁₂₃ — не справившихся ни с одним испытанием.

Подсказка 3

Как в наших обозначениях будут записано количество тех, кто не прошел хотя бы одно из двух первых испытаний? Мы сможем выразить и найти число тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием!

Подсказка 4

Число не прошедших хотя бы одно из двух первых испытаний запишем как x₁ + x₂ - x₁₂. Чему будет равно количество тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием?

Подсказка 5

Оно будет равно x₁ + x₂ + x₃ - x₁₂ - x₁₃ - x₂₃ + x₁₂₃. Сколько тогда человек приняли на работу?

Показать ответ и решение

Пусть $x i$ — число претендентов, которые не справились с $i$ -ым испытанием, $x ij$ — число претендентов, которые одновременно не справились с $i$ -ым и $j$ -ым испытанием, $x123$ — число претендентов, которые не справились ни с одним из испытаний.

Итак, $x1 = 21,x2 =23,x3 = 20,x123 = 7$ . Число претендентов, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, $i$ -ым и $j$ -ым, равно $xi+ xj − xij$ .

Следовательно,

x1+x2− x12 = 31 ⇒ x12 = x1 +x2− 31= 21 +23− 31= 13 x1+x3− x13 = 30 ⇒ x13 =x1+ x3− 30 =21+ 20− 30 =11 x2+x3− x23 = 31 ⇒ x23 = x2 +x3− 31= 23 +20− 31= 12

Число человек, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, равно

x1+x2+ x3− x12− x13− x23+ x123 = 21+ 23+20− 13− 11− 12+ 7= 35

следовательно, на работу приняли $39− 35= 4$ человек.

Ответ: 4