Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования, уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на КФУ

Тема КФУ (олимпиада Казанского Федерального Университета)

Тождественные преобразования, уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на КФУ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кфу (олимпиада казанского федерального университета)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#115105

Неотрицательные числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a+ b+ c+d =4.

Найдите наибольшее возможное значение суммы

S = ab+bc+ cd

и определите все четвёрки $(a,b,c,d)$ чисел, для которых это максимальное значение достигается.

Источники: КФУ - 2020, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Показать ответ и решение

Оценим сумму $S,$ добавив к ней неотрицательное число $da:$

S = ab+bc+ cd ≤(ab+bc)+(cd+da)= (a+c)(b+ d)

Учтём, что $b+ d= 4− (a +c),$ и обозначим $x =a +c,$ тогда

2 S ≤ x(4− x)≤ 4 ⇐= 0 ≤(x− 2)

Наибольшее значение $S =4$ достигается, например, при $a= b= 2$ и $c= d= 0.$

Ответ: 4