Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Комбинаторика, теория вероятности на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125074

Петя раскрашивает клетчатый прямоугольник размером $8× 12.$ У него 3 краски: белая, серая, черная. Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании клеток, он раскрасит прямоугольник так, что соседние клетки в нём будут разного цвета, но при этом не будет резкой смены цвета, то есть белая и чёрная клетки не будут соседними. (Клетки — соседние, если у них есть общая сторона).

Источники: Звезда - 2025, 11.2 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для нахождения ответа хотим узнать, сколько всего вариантов раскраски и сколько из них удовлетворяет условиям. Чтобы посчитать количество всех вариантов, учтем, что каждую из 8*12 клеток можно покрасить в любой из трех цветов. Как посчитать количество удовлетворяющих вариантов? Какую конструкцию здесь можно применить?

Подсказка 2

Попробуем объединить какие-то два цвета в один, например, чёрный и белый. Какие тогда возникают условия на взаимное расположение клеток нового цвета и серого?

Подсказка 3

Понятно, что клетки нового цвета не могут находиться рядом (иначе получаются либо одноцветные соседи, либо соседи вида белый-черный). Аналогичное можно сказать и про серые клетки. Какой вывод тогда можно сделать для количества вариантов такой двухцветной раскраски?

Подсказка 4

Тогда нам подходят только шахматные раскраски, их на данном поле будет две. Теперь обратно разобьем наш новый цвет на белый и чёрный. Логично, что все условия для соседей уже были соблюдены, поэтому любая клетка нового цвета может быть и белой, и чёрной. Тогда нам необходимо только посчитать количество этих клеток новых цветов в каждой из шахматных раскрасок (на обоих вариантах их одинаковое количество) и учесть, что для каждой из таких клеток вариантов выбора цвета 2. Ответ далее находится по стандартной формуле для вычисления вероятности по благоприятным и всем исходам.

Показать ответ и решение

Применим формулу классической вероятности $p= m, n$ где где общее число возможных исходов $n= 396,$ так как всего в прямоугольнике $96$ клеток, и каждую клетку можно окрасить в $3$ цвета. Найдём количество благоприятных исходов — $m.$ Для этого перекрасим временно белый и чёрный цвета в красный. Раскрасим данный прямоугольник в красно-серые цвета так, чтобы соседние клетки имели разный цвет (шахматная раскраска). Таких раскрасок будет ровно две.

Теперь осталось для каждой из $48$ красных клеток выбрать произвольно один из двух цветов — белый или чёрный. Таких раскрасок будет $48 2 ,$ а всего $49 m = 2 .$ В итоге ответ равен $249 396.$

Ответ:

$249 396$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125076

Прямоугольный параллелепипед размером $6× 7×11,$ разбитый на единичные кубики, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков проткнула игла?

Источники: Звезда - 2025, 11.4 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала представим разрезы на единичные кубики проведением различных плоскостей, параллельные граням параллелепипеда. Теперь подумаем о количестве плоскостей, параллельных каждой из граней, и ответим на вопрос: может ли игла прокалывать две плоскости (не параллельных) в одной точке?

Подсказка 2

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что игла прокалывает параллелепипед по его диагонали, то есть проекция иглы на третью плоскость (оставшуюся помимо двух рассматриваемых, возьмём именно грань, параллельно которой и построены все плоскости такого вида) будет представлять из себя диагональ грани. При этом сама точка прокола этих двух плоскостей на проекции будет иметь целочисленные координаты (так как плоскости разрезают параллелепипед по единичным кубикам). Какие выводы можно из этого сделать?

Подсказка 3

Заметим, что, какую бы грань ни взяли, прямоугольный треугольник, представленный двумя её сторонами и диагональю, будет иметь катеты со взаимно простыми длинами. Из этого получаем, что точка с целочисленными координатами на гипотенузе лежать не может (исключая вершины треугольника). Получили противоречие, получается, что игла прокалывает каждую из плоскостей единожды и в разных точках. Перенесём эти рассуждения на грани кубиков, и теперь количество прокалываемых легко находится.

Показать ответ и решение

Параллелепипед разрезан на единичные кубики плоскостями трёх семейств, в каждое из которых входят все плоскости, параллельные какой-то грани. Количество этих плоскостей — 5, 6 и 10 соответственно. Заметим, что игла не прокалывает две плоскости из разных семейств в одной точке, пусть в $M.$ Действительно, в таком случае проекция иглы на грань $α$ третьего семейства была бы её диагональю, на которой есть целочисленная точка $P$ — проекция точки $M$ на $α.$ Но очевидно, что если целочисленная точка лежит на диагонали целочисленного прямоугольника внутри его, то стороны прямоугольника не взаимно просты. Итак, игла прокалывает 5, 6 и 11 плоскостей в разных точках, поэтому на игле