Комбинаторика, теория вероятности на Звезде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямоугольный параллелепипед размером 
разбитый на единичные кубики, проткнули иглой по его диагонали. Сколько
единичных кубиков проткнула игла?
Источники:
Подсказка 1
Для начала представим разрезы на единичные кубики проведением различных плоскостей, параллельные граням параллелепипеда. Теперь подумаем о количестве плоскостей, параллельных каждой из граней, и ответим на вопрос: может ли игла прокалывать две плоскости (не параллельных) в одной точке?
Подсказка 2
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что игла прокалывает параллелепипед по его диагонали, то есть проекция иглы на третью плоскость (оставшуюся помимо двух рассматриваемых, возьмём именно грань, параллельно которой и построены все плоскости такого вида) будет представлять из себя диагональ грани. При этом сама точка прокола этих двух плоскостей на проекции будет иметь целочисленные координаты (так как плоскости разрезают параллелепипед по единичным кубикам). Какие выводы можно из этого сделать?
Подсказка 3
Заметим, что, какую бы грань ни взяли, прямоугольный треугольник, представленный двумя её сторонами и диагональю, будет иметь катеты со взаимно простыми длинами. Из этого получаем, что точка с целочисленными координатами на гипотенузе лежать не может (исключая вершины треугольника). Получили противоречие, получается, что игла прокалывает каждую из плоскостей единожды и в разных точках. Перенесём эти рассуждения на грани кубиков, и теперь количество прокалываемых легко находится.
Параллелепипед разрезан на единичные кубики плоскостями трёх семейств, в каждое из которых входят все плоскости, параллельные
какой-то грани. Количество этих плоскостей — 5, 6 и 10 соответственно. Заметим, что игла не прокалывает две плоскости из разных
семейств в одной точке, пусть в 
Действительно, в таком случае проекция иглы на грань 
третьего семейства была бы её
диагональю, на которой есть целочисленная точка 
— проекция точки 
на 
Но очевидно, что если целочисленная точка лежит на
диагонали целочисленного прямоугольника внутри его, то стороны прямоугольника не взаимно просты. Итак, игла прокалывает 5, 6 и 11
плоскостей в разных точках, поэтому на игле
следов её пересечения с гранями кубиков, поэтому количество прокалываемых кубиков равно
22
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
