Регион 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вещественные числа 
таковы, что 
Докажите, что каждое из чисел 
меньше
1.
Источники:
Подсказка 1:
Создаётся впечатление, что взяли слагаемые из разложений (x - 1)², (y - 1)² и (z - 1)² и расставили их по неравенствам. Как насчёт того, чтобы сложить какие-нибудь 2 неравенства?
Подсказка 2:
Давайте сложим первые два неравенства и выделим (x - 1)² и (y - 1)². Посмотрите внимательно на оставшиеся слагаемые. Какие на них накладываются ограничения, чтобы неравенство выполнялось?
Первое решение. Сложим первые два неравенства. Преобразуя, получаем неравенство:
Следовательно, 
Тогда 
аналогично для других двух переменных.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Не умаляя общности, предположим, что 
Тогда 
Добавив к обеим частям неравенства
имеем:
откуда наибольшее из чисел 
Значит, и все числа меньше 1.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Третье решение. Из условия следует, что 
аналогично 
Также 
по неравенству о средних.
Значит, 
аналогично 
и 
Не умаляя общности можно считать, что 
—– минимальное из чисел 
тогда
откуда 
аналогично 
а тогда и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
